\documentclass[11pt,a4paper]{scrartcl}

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\newcommand{\todo}[1]{\textcolor{red}{#1}}

\begin{titlepage}
\title{\textmd{Physikalisches Fortgeschrittenenpraktikum}\\\vspace{0.5cm}Strukturbestimmung\\[1cm] \textrm{\textit{\textmd{-- Vorbereitung --}}}\\[0.5cm]}
\author{\LARGE{Armin Burgmeier} \and \LARGE{Robert Schittny}}
\date{}
\end{titlepage}

\begin{document}
\maketitle
Wir wollen uns in diesem Versuch mit der Bestimmung der Kristallstruktur einer Pulverprobe aus deren Pulverdiagramm beschäftigen. Mit Hilfe des \emph{Debye-Scherrer-Verfahrens} werden wir ein durch Beugung von Röntgenstrahlung am Kristall entstehendes Pulverdiagramm herstellen, aus dem wir dann Rückschlüsse über die Struktur des verwendeten Kristalls ziehen können.
\section{Kristallstrukturen}
Wir wollen zunächst einige Grundlagen der Kristallographie zusammenfassen, mit denen wir Kristallstrukturen beschreiben können.
Wir sprechen in der Festkörperphysik von einem \emph{Kristall}, wenn sich die Bestandteile des Festkörpers dreidimensional periodisch wiederholen, sodass eine Gitterstruktur entsteht.\\

Ein idealer Kristall entsteht durch die unendliche Wiederholung identischer Atomgruppen, welche \emph{Basis} genannt werden. Der mathematische Satz von Raumpunkten, an denen jeweils eine Basis zu liegen kommt, bezeichnen wir als \emph{Gitter}

\subsection{Gittertranslationsvektoren}
Das dreidimensionale Gitter kann durch drei Translationsvektoren $\vec{a}_1$, $\vec{a}_2$ und $\vec{a}_3$ beschrieben werden, sodass an einem Punkt $\vec{r}$ die Anordnung der Atome in jeder Hinsicht identisch erscheint wie an einem Punkt $\vec{r}'$, der gegenüber $\vec{r}$ um eine Linearkombination der Translationsvektoren $\vec{a}_i$ verschoben ist. Jede dieser Linearkombinationen stellt damit einen \emph{Gittervektor} $\vec{T}$ dar, der das Gitter in sich selbst überführt:
\begin{equation}
  \vec{T} = u_1 \vec{a}_1 + u_2 \vec{a}_2 + u_3 \vec{a}_3 \qquad (u_i\; \text{ganzzahlig})
\end{equation}

Die Translationsvektoren $\vec{a}_i$ heißen \emph{primitiv}, wenn sich mit geeigneter Wahl der $u_i$ \emph{jeder} Gitterpunkt erreichen lässt.

\subsection{Elementarzelle, Einheitszelle, primitive Einheitszelle}
Die oben beschriebenen Translationsvektoren $\vec{a}_i$ spannen ein \emph{Parallelepiped} auf, welches durch periodische Wiederholung den gesamten Raum ausfüllen kann und \emph{Elementarzelle} genannt wird.\\

Beinhaltet eine Elementarzelle dabei genau einen Gitterpunkt (wobei Gitterpunkte, die von mehreren Zellen berührt werden, auf die beteiligten Zellen "`aufgeteilt"' werden), so heißt sie \emph{Einheitszelle}.

Eine Elementarzelle, die von den \emph{primitiven Translationsvektoren} $\vec{a}_i$ aufgespannt wird, heißt \emph{primitive Einheitszelle}.

\subsubsection{Wigner-Seitz-Zelle}
Eine andere Möglichkeit, eine Einheitszelle zu konstruieren, ist die Methode nach \emph{Wigner-Seitz}. Dabei werden von einem gewählten Gitterpunkt $\vec{P}$ zunächst Verbindungslinien zu allen Nachbarn gezogen. Zu diesen Linien werden nun die Mittelsenkrechten bzw. entsprechende dazu senkrechte Ebenen konstruiert. Diese Linien / Ebenen bilden die Grenze der Wigner-Seitz-Zelle.

Die Wigner-Seitz-Zelle um einen Gitterpunkt Punkt $\vec{P}$ enthält damit alle Raumpunkte, die $\vec{P}$ näher sind als irgendeinem anderen Gitterpunkt.
\begin{figure}[h]
  \centering
    \includegraphics{./figures/v_wigner_seitz.eps}
  \caption{Konstruktion einer Wigner-Seitz-Zelle}
  \label{fig:wigner_seitz}
\end{figure}

\subsection{Gittersymmetrien}
Kristalle können durch die Symmetrieeigenschaften ihrer Gitter klassifiziert werden. Wir unterscheiden dabei zwischen folgenden \emph{Symmetrieoperationen}:
\begin{enumerate}
  \item Translation um beliebigen Gittervektor $\vec{T}$
  \item Rotation um eine beliebige Achse.\\
    Hier gibt die \emph{Zähligkeit} der Achse an, wie oft das Gitter bei einer Rotation um $2\pi$ wieder in sich überführt wird.
  \item Spiegelung $m$ an einer Ebene
  \item Inversion $\bar{1}$ (Rotation um $\pi$ und Spiegelung an einer Ebene senkrecht zur Drehachse): $\vec{r} \rightarrow -\vec{r}$
  \item Drehinversion $\bar{n}$: Drehung mit Zähligkeit $n$, verknüpft mit Inversion
\end{enumerate}

\subsection{Reziprokes Gitter}
Die Menge aller Vektoren $\vec{G}$, die ebene Wellen mit der Periodizität eines gegebenen Gitters bilden, heißt \emph{reziprokes Gitter} zu diesem Gitter, es gilt also
\begin{equation}
  e^{i \vec{G}\cdot (\vec{r} + \vec{R})} = e^{i \vec{G}\cdot \vec{r}}
\end{equation}
und damit
\begin{equation}
  e^{i \vec{G} \cdot \vec{R}} = 1
  \label{eqn:reziprokes_Gitter}
\end{equation}
für einen beliebigen Gittervektor $\vec{R}$.

Die fundamentalen Gittervektoren $\vec{g}_i$ des reziproken Gitters lassen sich aus den fundamentalten Gittervektoren $\vec{a}_i$ des Ortsgitters berechnen:
\begin{equation}
  \vec{g}_1 = 2\pi\frac{\vec{a}_2 \times \vec{a}_3}{\vec{a}_1 \cdot (\vec{a}_2 \times \vec{a}_3)} \qquad
    \vec{g}_2 = 2\pi\frac{\vec{a}_3 \times \vec{a}_1}{\vec{a}_1 \cdot (\vec{a}_2 \times \vec{a}_3)} \qquad
    \vec{g}_3 = 2\pi\frac{\vec{a}_1 \times \vec{a}_2}{\vec{a}_1 \cdot (\vec{a}_2 \times \vec{a}_3)}
\end{equation}
Es gilt insbesondere
\begin{equation}
  \vec{a}_i \cdot \vec{g}_j = 2\pi\delta_{ij} \ \text{.}
\end{equation}
Die $\vec{g}_i$ sind also linear unabhängige Vektoren, die nur von den $\vec{a}_i$ des Ortsgitters abhängen. Jeder Vektor $\vec{G} = h \vec{g}_1 + k \vec{g}_2 + l \vec{g}_3$ ist ein reziproker Gittervektor.

\subsection{Indizierung von Kristallebenen und -richtungen, Millersche Indizes}
\paragraph{Kristallebenen}
Kristallebenen werden durch die Durchstoßpunkte der Gitterachsen in Einheiten der fundamentalen Gittervektoren $\vec{a}_i$ definiert. Sie werden durch sog. \emph{Millersche Indizes} gekennzeichnet. Diese erhält man, indem man die Kehrwerte der Achsenabschnitte bildet und die kleinsten ganzen Zahlen mit gleichem Verhältnis sucht:
\begin{figure}[H]
  \centering
    \includegraphics{./figures/v_millersche_indizes.eps}
  \caption{Zur Bestimmung der Millerschen Indizes}
  \label{fig:millersche_indizes}
\end{figure}
Die Achsenabschnitte in Einheiten der Gittervektoren sind hier $211$, deren Kehrwerte also $\frac{1}{2}11$. Die kleinsten ganzen Zahlen mit gleichem Verhältnis bilden die Millerschen Indizes $(hkl)$:
\begin{equation}
  (hkl) = (122)
\end{equation}
Ist eine Ebene parallel zu einem fundamentalen Gittervektor, so ist der entsprechende Index 0. Bei negativen Abschnitten schreibt man $(\bar{1}00)$ statt $(-100)$.

\paragraph{Kristallrichtungen}
Die Richtung des Gittervektors $\vec{G} = h \vec{a}_1 + k \vec{a}_2 + l \vec{a}_3$ im Kristall wird mit 
\begin{equation}
  [hkl]
\end{equation}
gekennzeichnet, wobei $h$, $k$ und $l$ ganzzahlig und teilerfremd gewählt werden. Für kubische Gitter steht dabei die $[hkl]$-Richtung senkrecht auf die $(hkl)$-Ebene.

\subsection{Fundamentale Gittertypen, Bravais-Gitter}
Aufgrund ihrer Klassifizierung nach Symmetrien kann es nur eine bestimmte Anzahl an fundamentalen Gittertypen geben, die zunächst nach den Beträgen der Basisvektoren $a$, $b$, $c$ und deren Winkeln $\alpha$, $\beta$ und $\gamma$ in Kristallsysteme eingeteilt werden, die ihrerseits wiederum mehrere Bravaisgitter enthalten können:
\begin{table}[H]
  \centering
  \begin{tabular}{llll}
    \hline 
    Basisvektoren   &	Winkel	&   Kristallsystem & Bravaisgitter\\
    \hline
    $a \not= b \not= c$	&   $\alpha \neq \beta \neq \gamma \neq 90^{\circ}$   & triklin	&   1\\
    $a \neq b \neq c$	&   $\alpha = \gamma = 90^{\circ}\ \beta \neq 90^{\circ}$    &	monoklin    &	2\\
    $a \neq b \neq c$	&   $\alpha = \beta \gamma = 90^{\circ}$	&   orthorhombisch  &	4\\
    $a = b \neq c$	&   $\alpha = \beta = \gamma = 90^{\circ}$	&   tetragonal	&   2\\
    $a = b \neq c$	&   $\alpha = \beta = 90^{\circ}\ \gamma=120^{\circ}$ &	hexagonal   &	1\\
    $a = b = c$		&   $\alpha = \beta = \gamma \neq 90^{\circ}$	&   rhomboedrisch   &	1\\
    $a = b = c$		&   $\alpha = \beta = \gamma = 90^{\circ}$	&   kubisch &	3\\
    \hline
  \end{tabular}
  \caption{Kristallsysteme}
\end{table}
  Es gibt also 14 verschiedene Bravaisgitter, von denen wir hier nur die 3 kubischen näher beschreiben wollen, da wir laut Aufgabenstellung eine kubische Pulverprobe untersuchen werden.

  \paragraph{Kubische Bravaisgitter}
  Es gibt drei verschiedene kubische Bravaisgitter, das \emph{primitive}, welches nur aus den Eckpunkten eines Würfels besteht, das \emph{raumzentrierte}, welches zusätzlich zu den Würfelecken einen Gitterpunkt in der Raummitte des Würfels besitzt, sowie das \emph{flächenzentrierte}, welches 6 weitere Gitterpunkte auf den Flächenmitten des Würfels besitzt.

  Das kubisch raumzentrierte Gitter wird auch mit \emph{bcc} (\emph{body centering cubic}), das kubisch flächenzentrierte auch mit \emph{fcc} (\emph{face centering cubic}) bezeichnet.\\
  \begin{figure}[H]
    \centering
      \includegraphics{./figures/v_kubische_gitter.eps}
    \caption{Die drei kubischen Bravaisgitter}
  \end{figure}
  Im folgenden noch einige spezifische Eigenschaften des bcc- und des fcc-Gitters:
  \begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{lll}
      \hline
      &	bcc &	fcc \\
      \hline
      Atome pro Einheitszelle	&   2	&   4	\\
      Abstand n.N.		&   $a/ \sqrt{2}$   &	$\sqrt{3}/2 a$\\
      Koordinationszahl $Z$	&   8	&   12	\\
      \hline
    \end{tabular}
    \caption{bcc- und fcc-Gittereigenschaften}
  \end{table}

\subsection{Dichteste Kugelpackungen}
In der Kristallographie werden Atome und Ionen näherungsweise als harte Kugeln betrachtet, die sich in Kugelpackungen so gegeneinander ausrichten, dass sie möglichst dicht und symmetrisch liegen und mit möglichst vielen anderen Kugeln in Wechselwirkung treten können. Die dichteste mögliche Kugelpackung weist dabei eine Raumerfüllung von 74\% auf. Diese kann auf verschiedene Weisen realisiert werden, wir wollen hier die zwei wichtigsten ansprechen.\\

Bei beiden im weiteren besprochenen Packungen lagern sich die Kugeln in Schichten, bei denen jede Kugel von sechs weiteren Kugeln berührt wird (\emph{hexagonale} Schicht). Die Art der Stapelfolgen dieser Schichten bestimmt die Art der Kugelpackung.

\paragraph{Hexagonal dichteste Kugelpackung}
Eine zweite hexagonale Schicht $B$ wird so in der ersten Schicht $A$ einrasten, dass sie vorhandene Lücken in $A$ teilweise ausfüllt und jede Kugel in $B$ von drei Kugeln in $A$ berührt wird. Eine dritte Schicht hat nun zwei Möglichkeiten, in $B$ einzurasten: Entweder sie kommt direkt über $A$ zu liegen, oder ist wiederum verschoben.

Die Stapelfolge $ABABA \dots$ nennt man \emph{hexagonal dichteste Kugelpackung}, sie hat eine Periodenlänge von zwei Schichten und hexagonale Symmetrie, wobei die hexagonale c-Achse senkrecht zu den Schichten steht. Da es doppelt so viele Löcher pro Schicht gibt wie Kugeln, sind entlang der c-Achse durchgehende Löcher im Kristall.

Die hexagonal dichteste Kugelpackung wird oft mit der Buchstabenfolge hcp gekennzeichnet (\emph{hexagonal close packing}).

\paragraph{Kubisch dichteste Kugelpackung}
Die Stapelfolge $ABCABC \dots$ ergibt die \emph{kubisch dichteste Kugelpackung} mit einer Periodenlänge von drei Schichten. Die Kugeln besetzen dabei die Positionen einer kubisch flächenzentrierten Anordnung, sodass die kubisch dichteste Kugelpackung auch mit fcc oder ccp gekennzeichnet wird.
\section{Röntgenstrahlung}

\subsection{Einordnung}

R"ontgenstrahlung ist elektromagnetische Strahlung die im elektromagnetischen
Spektrum zwischen dem Ultravioletten und der Gammastrahlung liegt. Die
Wellenlänge liegt im Bereich zwischen $5\,\unit{pm}$ und $1\,\unit{nm}$ und
ist damit in der gleichen Größenordnung wie die Abstände zwischen den Atomen
in einem Festkörper.

\subsection{Erzeugung}

R"ontgenstrahlung ensteht, wenn man geladene Teilchen in einem elektrischen
Feld beschleunigt und mit der Anode kollidieren lässt. Dadurch entsteht auf
zwei Arten R"ontgenstrahlung:

\begin{enumerate}
\item Die Teilchen werden bei der Kollision so stark abgebremst, dass ihre
      Energie in die Erzeugung eines Gammaquants mit einer Frequenz im Bereich
      der R"ontgenstrahlung übergeht. Das Spektrum dieser so genannten
      Bremsstrahlung ist kontinuierlich, da verschieden schnelle Teilchen an
      der Anode auftreffen.
\item Es werden Elektronen aus der Hülle von Anodenatomen herausgeschlagen.
      Durch den Übergang von anderen Elektronen des Festkörpers in die so
      entstandene Lücke entsteht die charakteristische Strahlung. Diese ist
      monochromatisch und abhängig vom Anodenmaterial. Es kann allerdings
      mehrere Übergänge geben.
\end{enumerate}

Da wir für den Versuch mit monochromatischer Strahlung arbeiten, setzen wir
einen Filter ein, der die Bremsstrahlung und ungewünschte Linien der
charakteristischen Strahlung herausfiltert.

\subsection{Röntgenbeugung}

Röntgenstrahlung wird gebeugt wenn sie auf Atome trifft, die in einer
Kristallstruktur angeordnet sind.

Konstruktive Interferenz tritt genau dann auf, wenn die Differenz der
Wellenvektoren von einlaufendem und reflektiertem Strahl einem reziproken
Gittervektor enspricht. Dies sieht man wie folgt:

Sei $\vec{k_0}$ der Wellenvektor der einfallenden und $\vec{k}$ der der
gestreuten Welle. Weiter bezeichne $\vec{R}$ einen Gittervektor, der die beiden
Gitterpunkte verbindet an denen die Streuung betrachtet wird. Der
Gangunterschied ergibt sich dann aus der Projektion des Gittervektors auf die
Richtung von einlaufendem und gestreutem Strahl:

\begin{equation}
\Delta x = \vec{R} \cdot \frac{\vec{k}_0}{\left|\vec{k}_0\right|} -
\vec{R} \cdot \frac{\vec{k}}{\left|\vec{k}\right|}
\end{equation}
Um konstruktive Interferenz zu erhalten, muss der Gangunterschied einem
ganzzahligen Vielfachen $n$ von $2 \pi$ entsprechen. Da wir weiter von
elastischer Streuung ausgehen ändert sich der Betrag der Wellenzahl nicht, es
gilt also $\left|\vec{k}_0\right| = \left|\vec{k}\right|$. Daraus ergibt sich
die Bedingung

\begin{equation}
\vec{R} \cdot \left(\vec{k}_0 - \vec{k}\right) = 2 n \pi
\end{equation}
welche äquivalent zu

\begin{equation}
\mathrm e^{\mathrm i \vec{R} \cdot \left(\vec{k}_0 - \vec{k}\right)} = 1
\end{equation}
ist. Vergleicht man dies mit der Definition eines reziproken Gittervektors
$\vec{G}$

\begin{equation}
\mathrm e^{\mathrm i \vec{R} \cdot \vec{G}} = 1
\end{equation}
so ergibt sich die behauptete Bedingung für konstruktive Interferenz.

Mit den Millerschen Indizes $h$, $k$ und $l$, die die Lage der Netzebenen an
der die beiden interferierenden Strahlen gebeugt werden relativ zueinander
beschreiben, kann dieser Sachverhalt als die so genannte Laue-Bedingung
formuliert werden:

\begin{eqnarray}
\left(\vec{k}_0 - \vec{k}\right) \cdot \vec{a}_1 &=& 2 \pi h \\
\left(\vec{k}_0 - \vec{k}\right) \cdot \vec{a}_2 &=& 2 \pi k \\
\left(\vec{k}_0 - \vec{k}\right) \cdot \vec{a}_3 &=& 2 \pi l
\end{eqnarray}
Dabei bezeichnen $\vec{a}_1$, $\vec{a}_2$ und $\vec{a}_3$ die Basisvektoren
des direkten Gitters.

% TODO: Soll ich das aus den Laue-Bedingungen herleiten? Ist aber eigentlich
% nur Termrubgeschiebe und trägt nicht wirklich zum Erkenntnisgewinn bei.

In skalarer Form ergibt sich davon ausgehend die Bragg-Bedingung, welche zu
der Laue-Bedingung "aquivalent ist. Der Winkel $\vartheta$ bezeichnet den
halben Winkel zwischen einfallendem und reflektiertem Strahl. $d$ steht für
den Netzebenenabstand der durch die Indizes $h$, $k$, $l$ festgelegt ist.

\begin{equation}
n \lambda = 2 d \sin{\left(\vartheta\right)}
\end{equation}

Wie bei der Beugung an einem optischen Gitter mit vielen Strichen ergeben sich
auch hier scharfe Maxima wenn es zu konstruktiver Interferenz kommt, und in
allen anderen Fällen ist die beobachtete Intensität nahe $0$.

\subsubsection{Ewaldkugel}

Veranschaulichen kann man die Bedingung für konstruktive Interferenz mit Hilfe
der Ewaldkugel. Dazu zeichnet man sich das reziproke Gitter auf und indiziert
einen beliebigen Gitterpunkt mit den Indizes $\left(0,0,0\right)$.

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[scale=0.25]{figures/ewald.eps}
\caption{Ewaldkugel mit einem Streuwinkel unter dem konstruktive Interferenz
         auftritt}
\end{figure}

Auf diesen Punkt treffe ein Wellenvektor $\vec{k}_0$. Legt man um den
Ausgangspunkt dieses Vektors nun eine Kugel mit dem Radius der Länge des
$\vec{k}_0$-Vektors, so ergeben gerade die Schnittpunkte der Kugel mit
Gitterpunkten mögliche Reflexionswinkel bei denen es zu konstruktiver
Interferenz kommt. Denn genau in diesem Fall ist der Vektor zwischen dem
Gitterpunkt $\left(0,0,0\right)$ und dem geschnitteten Gitterpunkt, welcher
gerade $\left(\vec{k} - \vec{k}_0\right)$ ist, ein reziproker Gittervektor.

\section{Durchführung des Versuchs}

Im Versuch wollen wir die Struktur eines Kristalls bestimmen. Dazu streuen wir
R"ontgenstrahlung an diesem und können vom Beugungsmuster Rückschlüsse auf die
Kristallstruktur ziehen.

\subsection{Versuchsaufbau}

Der Versuchsaufbau sieht so aus, dass um einen Stab des zu untersuchenden
Kristalls in einigem Abstand ein Filmstreifen gelegt wird, der die gestreute
Röntgenstrahlung aufnimmt. Dabei gehen wir nach dem Straumanis-Verfahren vor,
sodass eine Seite des Streifens den Vorstrahlbereich und die andere den
Rückstrahlbereich abdeckt.

Die gestreuten Röntgenstrahlen sind dann als Beugungslinien auf dem Film zu
erkennen und ihnen kann ein Streuwinkel zugeordnet werden unter dem die
Beugung auftrat.

\subsection{Vorbereitung des Kristallpulvers}

Um Streuung unter verschiedenen Winkels zu erreichen ohne die Röntgenanlage
selbst drehen zu müssen, verarbeiten wir die Kristalle durch Mörsern zu einem
feinen Pulver. Somit ist sichergestellt, dass jede mögliche Ausrichtung des
Kristalls auftritt und wir daher alle möglichen Streuwinkel abdecken.
Zusätzlich ist es möglich, den Pulverstab während der Aufnahme zu drehen.

\subsection{Strukturbestimmung}

Mit dem Vorwissen, dass es sich um eine kubische Kristallstruktur handelt kann
die Braggbedingung zu

\begin{equation}
\sin^2{\left(\vartheta\right)} =
\frac{\lambda^2}{4a^2} \left(h^2 + k^2 + l^2\right)
\end{equation}
umformuliert werden. Jedem Winkel $\vartheta$ unter dem auf dem Photostreifen
eine Linie zu sehen ist ordnen wir ganzzahlige Indizes $\left(h, k, l\right)$
so zu, dass diese Gleichung erfüllt sein kann. Daraus können wir den
Gitterparameter $a$ bestimmen.

Mögliche Strukturen werden nun durch die Zahl der Formeleinheiten, welche
berechnet werden kann wenn das Volumen $V = a^3$ einer Elementarzeile
bekannt ist, und durch Auslöschungsregeln bereits stark eingeschränkt.

Zur endg"ultigen Strukturbestimmung rechnen wir für noch nicht verworfene
M"oglichkeiten den Strukturfaktor

\begin{equation}
F(h, k, l) = \sum_{j=1}^N f_j \mathrm e^{2 \pi \mathrm i \left(hx_j + ky_j + lz_j\right)}
\end{equation}
aus. Dieser hängt über

\begin{equation}
I(h, k, l) = k A M LP \left|F\left(h, k, l\right)\right|^2
\end{equation}
mit der Intensität zusammen. Die Multiplizität $M$ erhalten wir aus dem
$\left(h,k,l\right)$-Tupel. Sie gibt an, wieviele $\left(h,k,l\right)$-
Kombinationen den gleichen Braggwinkel $\vartheta$ haben. Der Lorentz- und
Polarisationsfaktor $LP$ hängt für unpolarisierte Strahlung, wie wir sie im
Versuch verwenden, nur vom Winkel $\vartheta$ ab. Es gilt

\begin{equation}
LP = \frac{1 + \cos^2{\left(2 \vartheta\right)}}{2} \cdot
\frac{1}{\sin^2{\left(\vartheta\right)} \cos{\left(\vartheta\right)}}
\end{equation}

Die anderen Größen (Skalenfaktor $k$ und Absorptions- und Geometriefaktor
$A$) nehmen wir als konstant an. Durch Vergleich des errechneten (relativen)
Werts für die Intensität mit unserer Aufnahme können wir den Strukturvorschlag
auf diese Weise verwerfen oder verifizieren.

\end{document}
