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\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\todo}[1]{\textcolor{red}{#1}}

\begin{titlepage}
\title{\textmd{Physikalisches Fortgeschrittenenpraktikum}\\\vspace{0.5cm}Rastertunnelmikroskop\\[1cm] \textrm{\textit{\textmd{-- Auswertung --}}}\\[0.5cm]}
\author{\LARGE{Armin Burgmeier} \and \LARGE{Robert Schittny}}
\date{}
\end{titlepage}

\begin{document}
\maketitle
\section{Präparation einer Tunnelspitze}
Da noch eine gute funktionierende Spitze im Mikroskop eingebaut war, konnten wir hier auf die Präparation einer neuen Tunnelspitze verzichten.

\section{Untersuchung der Goldprobe}
Nachdem wir uns mit der Steuerungssoftware des Nanosurf-RTM vertraut gemacht hatten, bauten wir eine geflammte Goldprobe in das Mikroskop ein, welche wir daraufhin untersuchten.

Eine ungeflammte Goldprobe war nicht vorhanden.\\

Nach dem Einbau nahmen wir zunächst ein erstes Testbild auf, um uns näher mit dem RTM vertraut zu machen. (siehe Abbildung \ref{fig:gold_testbild})

Aus dem Testbild können wir erkennen, dass die verwendete Spitze wohl gut verwendbar ist. Wir erkennen jedoch einerseits relativ häufig auftretende Störungen, die als waagrechte Streifen erkennbar sind, sowie ein leicht schräg verlaufendes Streifenmuster, welches dem gesamten Bild überlagert ist. Diese Störungen konnten wir trotz Verändern der Scanparameter (Tunnelstrom, Verstärkung, Scangeschwindigkeit und -auflösung) nicht verhindern.
\begin{figure}[H]
  \centering
  \includegraphics[width=7cm]{./data/gold_testbild1.eps}
  \caption{Goldoberfläche, $\unit{200}{\nano\metre}\times \unit{200}{\nano\metre}$}
  \label{fig:gold_testbild}
\end{figure}
\subsection{Strom-Spannungs-Kennlinie}
Wir nahmen zunächst eine Strom-Spannungs-Kennlinie im Bereich von \unit{0,2}{\volt} bis \unit{-0,2}{\volt} Spitzenspannung auf, zu sehen in Abbildung (\ref{fig:gold_kennlinie}).
\begin{figure}[H]
  \centering
    \includegraphics[scale=2]{./data/gold_kennlinie1.eps}
  \caption{Strom-Spannungs-Kennlinie der Goldprobe}
  \label{fig:gold_kennlinie}
\end{figure}

Die Kennlinie ist offensichtlich in guter Näherung linear. Dies spiegelt die theoretisch erwartete lineare Abhängigkeit des Tunnelstroms $I_T$ von der Tunnelspannung $U_T$ wieder, die im Bereich von kleinen Tunnelspannungen gilt. Im von uns verwendeten Spannungsbereich gilt diese Linearität offenbar.

\subsection{Terrassenförmige Oberfläche}
Wir wollten nun die Ausbildung von großen atomar flachen Terrassen untersuchen, die sich bei der geflammten Goldprobe ausbilden. Dazu fuhren wir verschiedene Bereiche der Probe an, um eine möglichst gute Stelle für die Untersuchung zu finden. Leider konnten wir die Terrassen nicht so gut ausmachen, wie sie in der Vorbereitungshilfe abgebildet waren. Abbildung \ref{fig:gold_terrassen} zeigt die von uns verwendete Aufnahme.
\begin{figure}[H]
  \centering
  \includegraphics[width=15.5cm]{./data/gold6_stufe_all.eps}
  \caption{Geflammte Goldoberfläche; links $\unit{100}{\nano\metre}\times \unit{100}{\nano\metre}$, rechts $\unit{42}{\nano\metre}\times \unit{42}{\nano\metre}$}
  \label{fig:gold_terrassen}
\end{figure}
Die weiße Linie kennzeichnet die Stufe zwischen zwei Terrassen, welche wir zur Bestimmung des Terrassenabstands heranzogen.

\paragraph{Bildung der Stufen}
Beim Aufdampfen auf Quarzglas wächst Gold zunächst polykristallin, was in einer sehr körnigen und rauen Oberfläche resultiert. Durch das sog. \emph{Flammen} können sich jedoch die beobachteten atomar flachen Schichten ausbilden. Durch die Zuführung von Wärme wird die Oberflächendiffusion der Goldatome verstärkt, was das Einnehmen der energetisch günstigsten Anordnung stark begünstigt. Diese Anordnung zeichnet sich gerade durch die atomar flachen Bereiche aus, die bevorzugt in $[111]$-Richtung orientiert sind.

\paragraph{Auswertung des Bildes}
Über die im Bild gekennzeichnete Stufe legten wir nun mittels der NanoSurf-Software mehrere \emph{cross-sections}, die uns jeweils ein Höhenprofil entlang einer Linie lieferten. Diese sind in den Abbildungen \ref{fig:gold_terrasse1} bis \ref{fig:gold_terrasse3} zu sehen.


Wir bestimmten jeweils den Höhenunterschied der Stufe, indem wir Geraden durch die Bereiche vor und nach der Stufe legen und deren Höhen voneinander abziehen. Wir erhalten dabei folgende Ergebnisse:
\begin{table}[H]
  \centering
  \begin{tabular}{c|ccc}
    \hline
    Bild    &	$h_1$ in \angstrom	&   $h_2$ in \angstrom    &	$|h_1-h_2|$ in \angstrom\\
    \hline
    1	&  -2,2	&   0,3 &   2,5\\
    2	&   -1,9    &	0,7 &	2,6\\
    3	&   2,0	&   1,5	&   3,5\\
    4	&   -0,7    &	1,7 &	2,4\\
    5	&   -0,4    &	2,0 &	2,4\\
    \hline
  \end{tabular}
  \caption{Stufenhöhen}
\end{table}
Wert 3 fällt dabei als "`Ausreißer"' auf, hier könnte es sein, dass wir die Linie für das Höhenprofil ungünstig gewählt und nicht mehr nur die eigentliche Stufe getroffen haben. Als mittlere Stufenhöhe erhalten wir damit
\begin{equation}
  \bar{h} = \unit{2,68}{\angstrom} \ \text{,}
\end{equation}
was dem realen Wert von $h= \unit{2,4}{\angstrom}$ ziemlich nahe kommt. Ohne den Ausreißer würden wir diesen Wert noch genauer treffen. Wir können damit aussagen, dass die Kalibrierung des z-Piezos des RTM von vornherein sehr gut war und hier nicht weiter geändert werden muss.

\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{minipage}[h]{7cm}
    \includegraphics[scale=1.5]{./data/gold6_csect1.eps}
  \end{minipage}
  \begin{minipage}[h]{7cm}
    \includegraphics[scale=1.5]{./data/gold6_csect2.eps}
  \end{minipage}
  \caption{Höhenprofile an einer atomaren Terrasse der Goldoberfläche, $x$- und $y$-Achse jeweils in \angstrom}
  \label{fig:gold_terrasse1}
\end{figure}
\begin{figure}[H]
  \begin{minipage}[h]{7cm}
    \includegraphics[scale=1.5]{./data/gold6_csect3.eps}
  \end{minipage}
  \begin{minipage}[h]{7cm}
    \includegraphics[scale=1.5]{./data/gold6_csect4.eps}
  \end{minipage}
  \caption{Weitere Höhenprofile}
  \label{fig:gold_terrasse2}
\end{figure}
\begin{figure}[H]
  \begin{minipage}[h]{7cm}
    \includegraphics[scale=1.5]{./data/gold6_csect5.eps}
  \end{minipage}
  \caption{Weiteres Höhenprofil}
  \label{fig:gold_terrasse3}
\end{figure}

\subsection{Abstandsabhängigkeit des Tunnelstroms}

Die Abstandsabhängigkeit des Tunnelstroms haben wir ebenfalls mit der
Goldprobe untersucht. Dabei wählten wir eine Tunnelspannung von
$U_T = \unit{0{,}3}{\volt}$.

\begin{figure}[H]
  \centering
    \includegraphics[scale=2]{./data/gold_abstab.eps}
  \caption{Abstandsabhängigkeit des Tunnelstroms}
  \label{fig:abstab5}
\end{figure}

Die Abstandswerte sind dabei relativ zu verstehen. Dem Abstand $0\nano\metre$
entspricht also ein gewisser Tunnelstrom, und höhere Abstandswerte sind relativ
dazu gemeint, weiter weg von der Probe.

Der exponentielle Zusammenhang lässt sich mit einer logarithmischen Auftragung
noch besser erkennen.

\begin{figure}[H]
  \centering
    \includegraphics[scale=2]{./data/gold_abstab_log.eps}
  \caption{Abstandsabhängigkeit des Tunnelstroms, logarithmische Auftragung}
  \label{fig:abstab5_log}
\end{figure}

Bei größeren Abständen wird der Tunnelstrom so klein, dass es überhaupt sehr
schwierig ist, überhaupt noch einen Strom zu messen, daher wundert es uns
nicht, dass die Ausgleichsgerade in dem Bereich nicht mehr so gut zu den
Messwerten passt wie bei kleineren Abständen.

Der Fit einer Exponentialfunktion $I\left(d\right) =
A \mathrm e^{-2\kappa d}$ liefert

\begin{eqnarray*}
A      &=& \left(3{,}99 \pm 0{,}07\right) \nano\ampere \\
\kappa &=& \left(2{,}79 \pm 0{,}08\right) \frac{1}{\nano\metre}
\end{eqnarray*}

Die mittlere Potentialbarrierenhöhe $\bar{\varphi}$ hängt mit der
Abklingkonstanten $\kappa$ wie folgt zusammen:

\begin{equation}
\kappa^2 = \frac{2 m_e}{\hbar^2} \bar{\varphi}
\end{equation}
Da diese Formel in der Vorbereitungsmappe bereits ausführlich hergeleitet
wurde gehen wir nicht näher darauf ein. Für unser $\kappa$ folgt daraus
$\bar{\varphi} = \unit{0{,}30}{eV}$.

Der statistische Fehler ergibt sich durch einfache Fehlerfortpflanzung des
Fehlers von $\kappa$:

\begin{equation}
\sigma_{\bar{\varphi}}
  = \left|\frac{\partial \bar{\varphi}}{\partial \kappa}\right| \sigma_\kappa
  = \frac{2 \kappa \hbar^2}{2 m_e} \sigma_\kappa
  = \unit{0{,}02}{eV}
\end{equation}
Es ergibt sich also

\begin{equation}
\bar{\varphi} = \unit{\left(0{,}30 \pm 0{,}02\right)}{eV}
\end{equation}

Im Gegensatz zu im Vakuum erwarteten $\unit{4 \mathrm{oder} \unit}{5}{eV}$ ist
unser Wert um etwa eine Größenordnung kleiner. Dies deutet darauf hin, dass
die Luftmoleküle die effektive Potentialbarriere absenken und das Tunneln
daher noch auf größere Entfernungen erlauben.

\section{Nanogrid}
Wir bauten nun die NanoGrid-Probe in das RTM ein, um die Kalibrierung der x- und y-Piezos zu überprüfen. Wir erhielten zwar sehr schöne Aufnahmen von der zuvor schon beschriebenen grobkörnigen Struktur der ungeflammten Goldoberfläche, konnten jedoch trotz mehrfachen Wechsels des zu rasternden Bereiches die Strukturen des NanoGrid nicht entdecken. Abbildung \ref{fig:nanogrid} zeigt die aufgenommene Struktur.
\begin{figure}[H]
  \centering
    \includegraphics{./data/nanogrid2.eps}
  \caption{Aufnahme der NanoGrid-Probe; $\unit{715}{\nano\metre} \times \unit{715}{\nano\metre}$}
  \label{fig:nanogrid}
\end{figure}
Mit viel Phantasie sind hier einzelne Teile des \unit{160}{\nano\metre}-Musters zu sehen, für eine Kalibrierung der Piezosteuerungen reicht dies aber bei weitem nicht aus.\\

Da auf dem verwendeten Rechner auch die Daten vorheriger Versuchstage vorhanden waren, möchten wir hier kurz ein "`passableres"' Vergleichsbild zeigen (Abbildung \ref{fig:nanogrid_besser}).
\begin{figure}[h]
  \begin{center}
    \includegraphics{./data/nanogrid_besser.eps}
  \end{center}
  \caption{Oberfläche des Gold-Nanogrids, $\unit{568}{\nano\metre} \times \unit{568}{\nano\metre}$}
  \label{fig:nanogrid_besser}
\end{figure}

Bei einer Kantenlänge von \unit{568}{\nano\metre} ist hier sehr schön die Struktur des Grids zu erkennen, wenn auch die Auflösung des Bildes nicht so gut ist und viele Störungen (waagrechte Streifen) auftreten.

\section{Untersuchung einer Graphitprobe}

Als nächstes untersuchten wir die Graphitprobe im RTM. Bevor wie diese
eingebaut haben, haben wir mit Tesafilm zwei Schichten von der Oberfläche
abgezogen um eine möglichst flache Probe zu erhalten. Nach Einbau derselben
haben wir zunächst wieder eine Strom-Spannungs-Kennlinie aufgenommen.

\begin{figure}[H]
  \centering
    \includegraphics[scale=2]{./data/graphit_kennlinie.eps}
  \caption{Strom-Spannungs-Kennlinie der Graphitprobe}
  \label{fig:graphit_kennlinie}
\end{figure}
Wieder ist die Kennlinie bei kleinen Spannungen linear. Auch bei mehrfachen
Aufnahmen der Kennlinie erhielten wir dasselbe Ergebnis. Es liegen also gute
Tunnelbedingungen vor.

Zunächst wählten wir einen relativ großen Bereich von
$\left(100 \nano\metre\right)^2$, damit wir daraus einen möglichst flachen
Bereich für die atomare Auflösung auswählen können. Abbildung
\ref{fig:graphit_big} zeigt die erhaltene Aufnahme.

\begin{figure}[H]
  \centering
    \includegraphics{./data/graphit_100nm.eps}
  \caption{Aufnahme der Graphitprobe; $\unit{100}{\nano\metre} \times \unit{100}{\nano\metre}$}
  \label{fig:graphit_big}
\end{figure}

Es ist deutlich zu sehen, dass der Bereich unten links vergleichsweise flach
ist. Die folgende $\left(3 \nano\metre\right)^2$-Aufnahme stammt daher von
dort. Bei einem Gitterabstand von $2{,}46 \angstrom$ erwarten wir also etwa 12
Atome in beiden Richtungen zu sehen.

\begin{figure}[H]
  \centering
    \includegraphics{./data/graphit_3nm_1.eps}
  \caption{Aufnahme der Graphitprobe; $\unit{3}{\nano\metre} \times \unit{3}{\nano\metre}$}
  \label{fig:graphit_small}
\end{figure}

Während dieser Aufnahme haben wir mehrfach die Messparameter geändert, da am
Anfang noch keine atomare Struktur zu erkennen war (das Bild wurde von unten
nach oben aufgenommen). Am Schluss kam dann die Struktur des Graphits zum
Vorschein, und wie erwartet zeigt sich nur eine dreieckige Kristallstruktur.
Dabei wählten wir einen Tunnelstrom von $I_T = 4\nano\ampere$, eine
Tunnelspannung von $U_T = 0{,}2 \volt$ und für die Verstärkung
$\mathrm{PGain} = 4500$ und $\mathrm{IGain} = 2000$.

Wir haben versucht, noch deutlichere Aufnahmen mit weiterer Anpassung der
Parameter vorzunehmen. Auf diesen war die Struktur zwar auch zu erkennen, aber
es ist uns nicht gelungen, sie genauer aufzulösen als auf diesem Bild.

Für die Kalibrierung der x- und y-Piezos wählen wir zwei Dreiecke so, dass die
Ecken jeweils auf einzelnen Atomen enden und eine Seite parallel zur x- bzw.
y-Achse ist. An den anderen Seiten ist jeweils angegeben, wieviele Atome diese
Seite umfasst. Mit dem bekannten Atomabstand lassen sich die Längen dieser
Strecken also leicht ausrechnen, und bei Kenntnis des eingeschlossenen Winkels
auch die gegenüberliegende Strecke. Der Vergleich mit dem direkten Ausmessen
dieser Strecke liefert dann den Kalibrierungsfaktor.

Nach dem Kosinussatz gilt

% TODO: Fehlerrechnung? Man kann für den Winkel und in die direkt
% ausgemessenen Werte einen Fehler annehmen, der Rest ist irgendwie dingsig

\begin{eqnarray*}
c_x &=& \sqrt{\left(4 \cdot 2{,}46 \angstrom\right)^2 +
              \left(7 \cdot 2{,}46 \angstrom\right)^2 -
              2 \cdot 4 \cdot 7 \cdot \left(2{,}46 \angstrom\right)^2
                \cdot \cos{\left(99 \degree \right)}} = 21{,}13 \angstrom \\
c_y &=& \sqrt{\left(3 \cdot 2{,}46 \angstrom\right)^2 +
              \left(4 \cdot 2{,}46 \angstrom\right)^2 -
              2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot (2{,}46 \angstrom)^2
                \cdot \cos{\left(81 \degree \right)}} = 11{,}34 \angstrom
\end{eqnarray*}
Direktes Ausmessen liefert

\begin{eqnarray*}
c_x &=& 14{,}22 \angstrom \\
c_y &=&  7{,}56 \angstrom
\end{eqnarray*}
Daraus ergeben sich die Kalibrierungsfaktoren für X- und Y-Richtung zu

\begin{eqnarray*}
s_x &=& 1{,}49 \\
s_y &=& 1{,}50
\end{eqnarray*}

Dass beide Faktoren in etwa gleich sind bedeutet, dass die Aufnahme nicht
verzerrt ist. Es ist allerdings verwunderlich, dass beide Werte gerade um
einen Faktor $1{,}5$ größer sind als $1$, was einer korrekten Kalibrierung
entspräche. 

\end{document}
