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\hyphenation{Aus-len-kungs-amp-li-tu-de}

\begin{titlepage}
\title{\textmd{Physikalisches Fortgeschrittenenpraktikum}\\\vspace{0.5cm}Einstein-de-Haas-Effekt\\[1cm] \textrm{\textit{\textmd{-- Vorbereitung --}}}\\[0.5cm]}
\author{\LARGE{Armin Burgmeier} \and \LARGE{Robert Schittny}}
\date{}
\end{titlepage}

\begin{document}

\maketitle

\section{Einführung}

Magnetisiert man einen ferromagnetischen Körper, so tritt dabei ein
makroskopischer Drehimpuls des Körpers auf. Dieser Umstand ist der
Drehimpulserhaltung geschuldet. Bei der Magnetisierung ändert sich der Spin
der Elektronen in einem Material. Da der Spin aber ein Drehimpuls ist und der
Gesamtdrehimpuls erhalten ist, wird die Drehimpulsänderung durch die
Spinausrichtung durch eine Drehung des Körpers kompensiert. Zu einem kleineren
Ausmaß trägt auch der Bahndrehimpuls der äußeren Elektronen um den Atomkern
(der Bahndrehimpuls von allen Elektronen einer vollbesetzten Schale addiert
sich zu $0$) zum Gesamtdrehimpuls bei.

\section{$g$-Faktor}

Dieser Effekt lässt sich dazu verwenden, den Landéschen $g$-Faktor des
Elektrons zu bestimmen, was auch das Ziel dieses Versuchs darstellt.
Der $g$-Faktor steht mit dem gyromagnetischen Verhältnis
$\gamma = \frac{\mu}{L}$ in Beziehung, wobei $\mu$ das magnetische Moment eines
Teilchens und $L$ sein Drehimpuls ist. $g$ ist nun definiert als

% TODO: Zusammenhang zwischen L und \mu darstellen?

\begin{equation}
g := \gamma \frac{2m}{q}
\end{equation}

Betrachtet man ein Elektron, welches sich klassisch auf einer Kreisbahn um
einen Kern dreht, so kann man mit einfachen Mitteln herleiten\footnote{Siehe
Vorbereitungsmappe}, dass für den Bahndrehimpuls bzw. das magnetische
Bahnmoment $g_l = 1$ folgt. Für den Elektronenspin ergibt sich aus der
relativistischen Quantenmechanik $g_s = 2$.

Da der Einstein-de-Haas-Effekt (bzw. der Ferromagnetismus) hauptsächlich durch
den Elektronenspin zustande kommt, erwarten wir auch einen Wert $g \approx 2$.
Andersherum betrachtet können wir von dem im Versuch bestimmten $g$-Faktor
diese Tatsache verifizieren.

\section{Messprinzip}

% TODO: Die Vorbereitungsmappe betrachtet nur mu_l bzw. Bahndrehimpuls hier...

Um nun den $g$-Faktor zu bestimmen, brauchen wir im wesentlichen das
magnetische Moment und den Gesamtdrehimpuls der Elektronen. Beide Größen sind
experimentell aber nicht zugänglich. Im folgenden werden wir daher Verbindungen
zwischen den mikroskopischen und messbaren Größen herstellen.

Da nach der Magnetisierung des Ferromagnets die magnetischen Momente aller
ungepaarten Elektronen $N$ gleich ausgerichtet sind, gilt für das
gesamtmagnetische Moment des Körpers

\begin{equation}
\mu_{tot} = N \mu
\end{equation}
Die ungepaarten Elektronen sind dabei die Außenelektronen der Atome. Wie
an anderer Stelle bereits erwähnt summiert sich der Drehimpuls, und damit das
magnetische Moment der inneren Elektronen zu $0$. Da die magnetischen Momente
alle ausgerichtet werden gilt das gleiche für die Drehimpulse, da magnetisches
Moment und Drehimpuls immer parallel oder antiparallel zueinander stehen:

\begin{equation}
L_{tot} = N L
\end{equation}

Aus dem Gesamtmoment kann man nun leicht die Magnetisierung $M$ ausrechnen
wenn das Volumen $V$ des Körpers bekannt ist. Nach Definition der
Magnetisierung gilt:

% TODO: Bedingung hier? magnetischen Momente homogen im Körper verteilt?
% Nach Definition gilt das nur für dMu/dV

\begin{equation}
M = \frac{\mu_{tot}}{V}
\end{equation}

Setzt man nun diese Beziehungen in die Definition für das gyromagnetische
Verhältnis $\gamma$ ein, dann erhält man $g$ in Abhängigkeit von $M$ und
$L_{tot}$:

\begin{equation}
g = \frac{2m}{q} \frac{M V}{L_{tot}}
\end{equation}

Beide Größen, $L$ und $M$ sind nun makroskopisch beobachtbar bzw. messbar. Da
sie von der Zeit abhängen, $g$ aber konstant ist, können wir die Gleichung
auch nach der Zeit differenzieren und erhalten

\begin{equation}
g = \frac{2m}{q} \frac{\dot{M} V}{D}
\end{equation}
mit $D = \dot{L}_{tot}$, dem Drehmoment das auf den Körper wirkt. Im Versuch
sind nun im wesentlichen die beiden Größen $\dot{M}$ und $D$ zu bestimmen. Am
einfachsten wird die Bestimmung wenn beide gerade den Maximalwert erreicht
haben.

\section{Versuchsaufbau}

Als ferromagnetischer Körper wird ein dünner Eisenstab verwendet. Dieser ist
an einem dünnen Torsionsfaden befestigt und bildet so ein schwingfähiges
System mit schwacher Dämpfung. Das System ist von einer langen Spule umgeben,
die den Kern zu magnetisieren vermag. An die Spule kann eine Wechselspannung
mit variabler Frequenz angelegt werden und so den Stab magnetisieren.

Die Änderung der Magnetisierung bewirkt nach dem Einstein-de-Haas-Effekt auch
eine Änderung des Drehimpulses, also ein Drehmoment. Die Auslenkung des
Systems wird mit einem Laser und einem sich mitdrehenden Spiegel gemessen.

\section{Bestimmung von $D$ und $\dot{M}$}

\subsection{Drehmoment}

Das schwingfähige System aus Glasstab und Torsionsfaden lässt sich mit Hilfe
folgender Differentialgleichung beschreiben:

\begin{equation}
\ddot{\alpha} + 2 \beta \dot{\alpha} + \omega_0^2 \alpha =
\frac{D}{\theta} \cos{\left(\omega_{err}\right)}
\end{equation}
Hierbei bezeichnet $\alpha$ die Auslenkung des Stabes, $\beta$ die
Dämpfungskonstate, $\omega_0$ die Eigenfrequenz des Systems, $\theta$ das
Trägheitsmoment und $\omega_{err}$ die Erregerfrequenz, die der Frequenz des
Spulen-Wechselstroms entspricht.

In der Vorbereitungsmappe wird nun ausgehend von der Lösung der Gleichung die
folgende Beziehung für $D$ hergeleitet:

\begin{equation}
D = 2 \beta \omega_{res} \alpha_{res} \theta
\end{equation}
wobei $\omega_{res}$ die (experimentell zu ermittelnde) Resonanzfrequenz
des Systems und $\alpha_{res}$ die größte Auslenkung bei dieser Frequenz ist.

\subsection{Änderung der Magnetisierung}

Nachdem der ferromagnetische Stab vom Magnetfeld $\vec{H}$ der äußeren Spule
magnetisiert wurde, trägt seine Magnetisierung $\vec{M}$ auch zum gesamten
magnetischen Feld $\vec{B}$ in der Spule bei. Es gilt

\begin{equation}
\vec{B} = \mu_0\left(\vec{H} + \vec{M}\right)
\end{equation}
$\vec{H}$ kann mit Hilfe der bekannten Formel für das Magnetfeld einer langen
Spule berechnet werden. Berücksichtigt man, dass wir einen Wechselstrom mit
der Resoanzfrequenz $\omega_{res}$ der Schwingung anlegen werden, so ergibt
sich mit der Windungzahl $N$ und der Spulenlänge $l$:

\begin{equation}
H = \frac{N I}{l} = \frac{N}{l} \hat{I} \cos{\left(\omega_{res} t\right)}
\end{equation}

Bei der Umpolung des Stabes treten Hystereseeffekte auf, das heißt wenn der
Spulenstrom gerade einen Nulldurchgang hat, so ist im Stab immer noch eine
Restmagnetisierung vorhanden. Für $\vec{M}$ gilt also keine solch einfache
cosinusartige Beziehung. Sie ist allerdings immer noch periodisch mit der
Periode der Wechselspannung. Das gilt natürlich auch für die zeitliche
Änderung. Sie kann daher in eine Fourierreihe entwickelt werden. Dabei zeigt
sich, dass der zweite Fourierkoeffizient keinen Beitrag liefert und alle
weiteren so klein werden, dass sie vernachlässigbar sind.

Wie an anderer Stelle bereits erwähnt interessieren wir uns für den
Maximalwert der Änderung der Magnetisierung, $\dot{M}_{max}$. Bei einer
Fourierentwicklung die nach dem ersten Glied abgebrochen wird entspricht dies
gerade dem ersten Fourierkoeffizienten
$\left(\frac{\mathrm dM}{\mathrm dt}\right)_1$, für den gilt

\begin{equation}
\label{eq:dmdt_fourier_1}
\left(\frac{\mathrm dM}{\mathrm dt}\right)_1 =
\frac{2}{T} \int_0^T \mathrm dt \frac{\mathrm dM}{\mathrm dt} \cdot
	\sin{\left(\omega_{res} t\right)}
\end{equation}

Im Versuch wird die Änderung der Magnetisierung mit Hilfe der in einer
zweiten Spule induzierten Spannung gemessen. $N_2$ bezeichne die Windungszahl
dieser Spule und $F_2$ ihre Querschnittsfläche. Mit dem Faraday'schen
Induktionsgesetz kann man davon ausgehend die in dieser Spule induzierte
Spannung $U_{ind}$ herleiten. Diese und weitere Rechnungen sind erneut in der
Vorbereitungsmappe ausführlich beschrieben, daher wollen wir an dieser Stelle
lediglich die wichtigsten Ergebnisse zusammenfassen. Für $U_{ind}$ ergibt sich

\begin{equation}
-U_{ind} = \mu_0 N_2 \left(F_2 \frac{\mathrm dH}{\mathrm dt} +
                           F_0 \frac{\mathrm dM}{\mathrm dt}\right)
\end{equation}
wobei $F_0$ die Querschnittsfläche des Stabes ist. Die Zeitabhängigkeit von
$H$ ist bekannt.

Es gibt nun zwei Möglichkeiten weiterzumachen:

\begin{enumerate}
\item Man geht davon aus, dass die Ummagnetisierung schnell gegenüber der
      Periodendauer $T$ ist, was einer harten Hysteresekurve entspricht.
      Im Grenzfall wird die Magnetisierungsänderung dann zu $\delta$-Peaks an
      den Stellen wo Ummagnetisierung stattfindet, also näherungsweise beim
      Nulldurchgang des äußeren Feldes bzw. des Primärspulenstroms, d.h. bei
      $t_1 = \frac{T}{4}$ und bei $t_2 = 3 \frac{T}{4}$. Es wird immer der
      gesamte Körper als magnetisiert betrachtet, sodass auch immer die
      Sättigungsmagnetisierung erreicht wird.

      Bezeichnet man die Sättigungsmagnetisierung mit $M_S$, so folgt

      \begin{equation}
      \left(\frac{\mathrm dM}{\mathrm dt}\right)_1 = -\frac{8 M_S}{T}
      \end{equation}
      Die Sättigungsmagnetisierung wiederrum kann nun durch die
      Induktionsspannung in der Sekundärspule ausgedrückt werden. Da die
      Details wieder in der Vorbereitungsmappe zu finden sind geben wir hier
      nur das Ergebnis an:

      \begin{equation}
      \left(\frac{\mathrm dM}{\mathrm dt}\right)_1 =
      -\frac{4}{T \mu_0 N_2 F_0} \int_0^\frac{T}{2} \mathrm dt \, U_{ind} +
      \frac{8 N_1 \hat{I}}{T l} \frac{F_2}{F_0}
      \end{equation}
      Bis auf das Integral sind nun alle Größen bekannt ($T$ ergibt sich aus
      der Resonanzfrequenz, $N_1$ ist die Windungszahl der Primärspule).

\item Die zweite Möglichkeit, die zudem etwas genauer ist, da man nicht die
      Voraussetzung scharfer Peaks der Magnetisierungsänderung bracht, ist es,
      die Gleichung für die Induktionsspannung nach
      $\frac{\mathrm dM}{\mathrm dt}$ umzustellen und in Gleichung
      \ref{eq:dmdt_fourier_1} einzusetzen. Nach einigen Umformungen ergibt sich

      \begin{equation}
      \left(\frac{\mathrm dM}{\mathrm dt}\right)_1 =
      -\frac{1}{\mu_0 N_2 F_0} \left(U_{ind}\right)_1 \kappa +
      \frac{N_1 \hat{I} \omega_{res} F_2}{F_0 l}
      \end{equation}
      wobei

      \begin{equation}
      \left(U_{ind}\right)_1 =
      \frac{2}{T}\int_0^T \mathrm dt \, U_{ind} \sin{\left(\omega_{res} t\right)}
      \end{equation}
      der erste Fourierkoeffizient der Induktionsspannung ist. $\kappa$ ist
      ein experimentell zu bestimmender Eichfaktor der bei der Bestimmung von
      $\left(U_{ind}\right)_1$ eine Rolle spielt.
\end{enumerate}

\section{Erdmagnetfeld}

Bei dem Versuch ist es von essentieller Bedeutung, Magnetfeld der Erde
abzuschirmen. Andernfalls wirkt auf den Stab aufgrund der Beziehung

\begin{equation}
\vec{D} = \vec{\mu} \times \vec{B}
\end{equation}
ein weiteres Drehmoment, das wie bei einem Kompass versucht den Stab
antiparallel zum Erdmagnetfeld auszurichten. Allerdings spielt nur die
horizontale Komponente des Erdmagnetfelds eine Rolle. Die vertikale Komponente
ist parallel zum magnetischen Moment des Stabes (da dieses entlang der
Feldlinien in der Spule ausgerichtet ist) und das Kreuzprodukt ergibt somit $0$.
Es ist allerdings darauf zu achten, dass der Stab gut in der Spule zentriert
ist, da das Magnetfeld an den Rändern der Spule weniger homogen ist.

Um die horizontale Komponente des Erdmagnetfelds zu kompensieren wird die
ganze Anordnung nun noch zwischen einem Paar von Helmholtzspulen angebracht.
Das Helmholtzspulenpaar erzeugt ein homogenes Magnetfeld in der Mitte, wenn
der Abstand gerade dem Radius der Spulen entspricht. Das Strom durch die
Helmholtzspulen wird so gewählt, dass das Erdmagnetfeld gerade kompensiert
wird.

\section{Versuchsdurchführung}

\paragraph{Mechanische Größen}
Im ersten Schritt des Versuchs werden die für die Bestimmung des Drehmoments
benötigten Größen ermittelt. Dies sind im wesentlichen die Resonanzfrequenz
$\omega_{res}$, die Schwingungsamplitude bei der Resonanz $\alpha_{res}$ und
die D"ampfungskonstante $\beta$. Dazu wählen wir einen festen effektiven
Spulenstrom $I_{eff} = \unit{0{,}6}{\ampere}$ und variieren die Frequenz der
Wechselspannung so lange, bis wir die Frequenz gefunden haben, bei der der
Ausschlag maximal wird. Dies ist die Resonanzfrequenz. Danach schalten wir den
Spulenstrom wieder ab und beobachten das Abklingen der Schwingung. Dazu können
wir die Maximalausschläge $\hat{\alpha}$ und Zeitpunkte $t$ ebenjener in den
folgenden Perioden protokollieren und $\beta$ aus einem Funktionsfit der
Einhüllenden

\begin{equation}
\hat{\alpha} = \hat{\alpha}\left(0\right) \mathrm e^{-\beta t}
\end{equation}
gewinnen.

\paragraph{Kompensation des Erdmagnetfelds}
Als nächstes bestimmen wir die nötige Stromstärke für das Helmholtzspulenpaar
um das Erdmagnetfeld zu kompensieren. Dazu bestimmen wir zuerst mit Hilfe
eines Kompasses seine Richtung: Das magnetische Moment der Nadel richtet sich
antiparallel zu den Magnetfeldlinien aus. Die Helmholtzspulen werden dann so
aufgestellt, dass die Feldlinien des durch sie erzeugten Feldes gerade in die
andere Richtung ausgerichtet sind.

Dann legen wir an die Feldspule wieder eine effektive Stromstärke von
$I_{eff} = \unit{0{,}6}{\ampere}$ an. Das Erdmagnetfeld bewirkt ein
zusätzliches Drehmoment auf den Stab, durch das die Auslenkung
größer wird. Wir stellen den Gleichstrom durch die Helmholtzspulen daher nun
so ein, dass die Auslenkung gerade minimal wird. In diesem Fall ist das
Erdmagnetfeld vollständig kompensiert.

\paragraph{Eichung des Galvanometers und Bestimmung der Induktionsspannung}

Es handelt sich dabei um ein ballistisches Galvanometer welches den Strom, der
während eines bestimmten Zeitraums fließt, integriert (also im wesentlichen
die geflossene Ladung misst). Die Auslenkung des Galvanometers $A_0$ ist
proportional zu dieser Ladung $Q$:

\begin{equation}
Q = k A_0
\end{equation}
Mit verschiedenen Testströmen lässt sich somit der Proportionalitätsfaktor $k$
bestimmen. Mit diesem Wissen kann dann die Induktionsspannung an der
Sekundärspule gemessen werden:

\begin{equation}
Q = \int \mathrm dt \, I = \frac{1}{R} \int \mathrm dt \, U_{ind}
\end{equation}
wobei $R$ der Widerstand im Stromkreis Spule/Galvanometer ist. Er ist in der
Vorbereitungsmappe angegeben und beträgt

\begin{equation}
R = \unit{\left(37 + 9500 + 25\right)}{\ohm} = \unit{9562}{\ohm}
\end{equation}

Um den $g$-Faktor nach der ersten vorgestellten Methode zu berechnen muss der
Wert des Integrals $\int_0^\frac{T}{2} \mathrm dt U_{ind}$ bestimmt werden.
Statt einem Wechselstrom für die Feldspule verwenden wir nun einen
Gleichstrom, der von $\hat{I} = \sqrt{2} I_{eff} =
\unit{\sqrt{2} \cdot 0{,}6}{\ampere}$ auf 0 zurückgeht. Dieser Zeitraum
entspricht gerade einer Viertel-Periode des Wechselstroms. Da wir annahmen,
dass die Änderung der Magnetisierung nur als $\delta$-Peak bei
$t = \frac{T}{4}$ erfolgt gilt

\begin{equation}
\int_0^\frac{T}{2} \mathrm dt \, U_{ind} = 2 \int_0^\frac{T}{4} \mathrm dt \, U_{ind}
\end{equation}

\paragraph{Bestimmung des ersten Fourierkoeffizients der Induktionsspannung}

Für die zweite Methode zur Bestimmung des $g$-Faktors wird der erste
Fourierkoeffizient der Indukutionsspannung $\left(U_{ind}\right)_1$ benötigt.
Dazu betreiben wir die Feldspule wieder mit Wechselspannung bei der
Resonanzfrequenz und schließen die Sekundärspule an ein Oszilloskop an, auf
dem $U_{ind}$ über der Zeit aufgetragen wird. Die Daten werden an den Computer
übertragen und dort gespeichert. Dann kann eine numerische Integration
erfolgen.

Der Eichfaktor $\kappa$ beträgt

\begin{equation}
\kappa = \frac{\int_0^\frac{T}{2} \mathrm dt \, U_{ind} \, \mbox{(Gemessen mit dem Galvanometer)}}
              {\int_0^\frac{T}{2} \mathrm dt \, U_{ind} \, \mbox{(Gemessen mit dem Oszilloskop)}}
\end{equation}

Das mit dem Galvanometer gemessene Integral wurde dazu bereits im vorherigen
Aufgabenteil ermittelt, und das des Oszilloskops kann aus den gleichen Werten
berechnet werden aus denen auch das Fourier-Integral gebildet wird.

\end{document}
