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\hyphenation{an-ge-schlos-sen}

\begin{titlepage}
\title{\textmd{Physikalisches Fortgeschrittenenpraktikum}\\\vspace{0.5cm}Einstein-de-Haas-Effekt\\[1cm] \textrm{\textit{\textmd{-- Auswertung --}}}\\[0.5cm]}
\author{\LARGE{Armin Burgmeier} \and \LARGE{Robert Schittny}}
\date{}
\end{titlepage}

\begin{document}

\maketitle

\section{Bestimmung der Konstanten}
Zunächst untersuchten wir die mechanischen Eigenschaften des vorliegenden Systems. Hier interessierte uns die Resonanzfrequenz $\omega_{res}$ des schwingenden Systems sowie dessen Dämpfungskonstante $\beta$.

\subsection{Resonanzfrequenz}Die Resonanzfrequenz $\omega_{res}$ bestimmten wir durch "`Ausprobieren"' bei einem festen effektiven Spulenstrom von $I_{eff} = \unit{0,6}{\ampere}$, indem wir die Breite des Lichtbandes (die Schwingung ist so schnell, dass der abgelenkte Laserstrahl zu einem Lichtband verschmiert) beobachteten und die anregende Frequenz der Feldspule variierten. Wir erhielten eine Periodendauer von $T_{res} = \unit{(42,92 \pm 0,01)}{\milli\second}$ (der Frequenzgenerator ließ sich nur in \unit{0,02}{\milli\second}-Schritten einstellen) und somit eine Resonanz-Kreisfrequenz von
\begin{equation}
  \omega_{res} = \frac{2\pi}{T_{res}} = \unit{146,4}{\reciprocal\second} \ \text{.}
  \label{eqn:resonanzfrequenz}
\end{equation}
Über eine Größtfehlerabschätzung erhalten wir für den Fehler Resonanzfrequenz letztlich
\begin{equation}
  \Delta\omega_{res} = \left|\frac{\partial\omega_{res}}{\partial T_{res}}\right|\Delta T_{res} = \frac{2\pi}{T_{res}^2}\cdot\Delta T_{res} \approx \unit{3,4\cdot 10^{-5}}{\reciprocal\second} \ \text{.}
  \label{eqn:resonanzfrequenz_fehler}
\end{equation}
Dieser Fehler ist so klein, dass wir ihn im folgenden als Null annehmen werden.\\

\subsection{Resonanzamplitude}
Die Resonanzamplitude $\alpha_{res}$ entspricht dem Drehwinkel des Spiegels, der am Vaconstab befestigt ist. Dieser wurde mit einem Laser bestrahlt, wir maßen die Ablenkung des Lasers nach einem Lichtweg von $L= \unit{(4,58 \pm 0,05)}{\metre}$ auf einer ebenen Fläche. Der Lichtweg war nur sehr schwer auszumessen, da wir die Apparatur nicht berühren durften, weshalb wir hier einen Fehler von \unit{5}{\centi\metre} annehmen. Da der Laserpunkt selbst schon eine deutliche Ausdehnung hatte, war die Breite des Lichtbandes $b_{res}$ ebenfalls nicht exakt bestimmbar. Hier nehmen wir einen Fehler von $\Delta b_{res} = \unit{1}{\milli\metre}$ an.

Außerdem ist zu beachten, dass eine Drehung des Spiegels um $\alpha$ eine Ablenkung des Lichtstrahls um $2\alpha$ bewirkt. Unter der Annahme von kleinen Winkeln $\alpha$ können wir aus der gemessenen Breite des Lichtbands auf $\alpha_{res}$ schließen:
\begin{equation}
  \tan{(2\alpha_{res})} = \frac{b_{res}}{2L} \quad \Rightarrow \quad \alpha_{res} \approx \frac{b_{res}}{4L}
\end{equation}
Den systematischen Fehler von $\alpha_{res}$ erhalten wir über eine Größtfehlerabschätzung, in die die Fehler von $b_{res}$ und $L$ eingehen:
\begin{equation}
  \Delta \alpha_{res} = \frac{1}{4L}\cdot \Delta b_{res} + \frac{b_{res}}{4L^2}\cdot \Delta L
\end{equation}
\paragraph{Anmerkung:}Leider haben wir die Breite $b_{res}$ nur beim effektiven Strom $I= \unit{0,6}{\ampere}$ gemessen. Damit können wir leider auch den g-Faktor nur für diesen Strom berechnen, da $b_{res}$ in diesen mit einfließt.

Um dennoch Vergleichsmöglichkeiten zu haben, werden wir im folgenden Werte für $\unit{0,5}{\ampere}$ und $\unit{0,7}{\ampere}$ annehmen, die von anderen Gruppen zuvor gemessenen Werten entsprechen. Diese haben natürlich keine besonders große Aussagekraft und sollen nur zum Vergleich dienen, weshalb wir sie und alle mit ihnen berechneten Werte im folgenden in kleinerer Schrift darstellen.\\

Hiermit erhalten wir für die Resonanzamplitude:
\begin{table}[H]
  \centering
  \begin{tabular}{c|c|c}
    $I_{eff}$ [\ampere] & $b_{res}$ [\milli\metre] & $\alpha_{res}$ [\milli\rad] \\
    \hline
    0,5	&   \fiktiv{$11 \pm 1$}	&   \fiktiv{$0,6 \pm 0,061\, (10,18\%)$}\\
    0,6	&  $31 \pm 1$ & $1,69 \pm 0,073\, (4,32\%)$ \\
    0,7 & \fiktiv{$55 \pm 1$} & \fiktiv{$3,0 \pm 0,087\, (2,01\%)$}
  \end{tabular}
  \caption{Resonanzamplitude $\alpha_{res}$}
  \label{tab:resonanzamplitude}
\end{table}

Die Dämpfungskonstante $\beta$ ließ sich nun auf zweierlei Arten bestimmen, nämlich aus der Resonanzkurve sowie aus der Abklingzeit der Schwingung.

\subsection{Dämpfungskonstante aus der Resonanzkurve}
Wie in der Vorbereitungsmappe beschrieben, hat die Resonanzkurve der Schwingung bei der Amplitude $\alpha_{res}/\sqrt{2}$ gerade eine Breite von $2\beta$. Wir nahmen daher zunächst eine Resonanzkurve um die zuvor bestimmte Resonanzfrequenz $\omega_{res}$ auf:
\begin{figure}[H]
  \centering
    \includegraphics{./resonanzkurve.eps}
  \caption{Resonanzkurve der Torsionsschwingung}
  \label{fig:resonanzkurve}
\end{figure}
Die waagrechte Linie ist gerade die Höhe $\alpha_{res}/\sqrt{2}$, bei der wir die Breite der Kurve bestimmen. Hierfür erhalten wir
\begin{equation}
  \Delta\omega = 2\beta = \unit{0,96}{\reciprocal\second}
  \label{eqn:resonanzbreite}
\end{equation}
und somit für die Dämpfungskonstante des Systems:
\begin{equation}
  \beta = \unit{0,48}{\reciprocal\second}
  \label{eqn:daempfungskonstante}
\end{equation}

\subsection{Dämpfungskonstante aus der Abklingzeit}
Eine zweite Möglichkeit, die Dämpfungskonstante des Systems zu bestimmen, liegt darin, eine Schwingung anzuregen und dann die anregende Wechselspannung abzuschalten. Die Einhüllende der Schwingung klingt hiernach exponentiell ab und liefert somit ein Maß für die Dämpfung (siehe Vorbereitung).

Wir schalteten also nach der Anregung mit der Resonanzfrequenz den Frequenzgenerator ab und maßen die Breite des Lichtbands alle fünf Sekunden. Wir erhielten folgende Einhüllende, an die wir gleich die Funktion $g(t)=a\cdot \exp{(-\beta\cdot t)} + c$ anfitteten:
\begin{figure}[H]
  \centering
    \includegraphics{./abklingkonstante.eps}
  \caption{Einhüllende der abklingende Schwingung}
  \label{fig:abklingkonstante}
\end{figure}
Aus der Regression erhalten wir für die Dämpfungskonstante $\beta$ (die beiden anderen Größen $a$ und $c$ interessieren uns hier nicht weiter, sind aber für einen korrekten Fit wichtig):
\begin{equation}
  \beta = \unit{(0,041 \pm 0,0024)}{\reciprocal\second} = \unit{0,041}{\reciprocal\second}\pm 5,8\%
  \label{eqn:daempfungskonstante2}
\end{equation}
Es fällt auf, dass der hier ermittelte Wert um eine ganze Größenordnung von dem aus der Resonanzkurve bestimmten Wert verschieden ist. Wir können dies bisher nicht zufriedenstellend erklären und werden im folgenden alle Berechnungen mit beiden Werten durch\-füh\-ren.

Dafür nennen wir die Dämpfungskonstante aus der Resonanzkurve $\beta_1$, die aus dem Abklingverhalten $\beta_2$.

\subsection{Trägheitsmoment $\Theta$}
Wir benötigen für die weiteren Berechnungen das Trägheitsmoment des Metallstabes. Dieser ist ein Vollzylinder und hat daher ein Trägheitsmoment um seine Längsachse von 
\begin{equation}
  \Theta = \frac{M}{2}R^2 = \frac{\unit{0,025}{\kilo\gram}}{2} \cdot (\unit{0,002}{\milli\metre})^2 = \unit{5\cdot 10^{-8}}{\kilo\gram\square\metre}\ \text{.}
  \label{eqn:traegheitsmoment}
\end{equation}

\subsection{Drehmoment $D$}
Auch wenn das Drehmoment als solches sicher nicht konstant ist, verwenden wir hier nur einen konstanten Wert (siehe Vorbereitung), den wir hier schon berechnen wollen:
\begin{equation}
  D = 2\beta \omega_{res} \alpha_{res} \Theta
\end{equation}
In den systematischen Fehler geht dabei nur der systematische Fehler von $\beta_2$ ein, in den statistischen Fehler der von $\alpha_{res}$.

\paragraph{Berechnung mit $\beta_1$}Zunächst berechnen wir $D$ mit $\beta_1$ und erhalten:
\begin{table}[H]
  \centering
  \begin{tabular}{c|c}
    $I_{eff}$ [\ampere] & $D$ [\kilo\gram\square\metre\per\square\second]\\
    \hline
    0,5 & \fiktiv{$(0,422 \pm 0,043)\cdot 10^{-8}$}\\
    0,6 & $(1,19 \pm 0,051)\cdot 10^{-8}$\\
    0,7 & \fiktiv{$(2,11 \pm 0,061)\cdot 10^{-8}$}
  \end{tabular}
  \caption{Drehmomentberechnung mit $\beta_1$}
\end{table}

\paragraph{Berechnung mit $\beta_2$}Nun berechnen wir $D$ noch mit $\beta_2$. Hier können wir dessen statistischen Fehler mit einfließen lassen.
\begin{table}[H]
  \centering
  \begin{tabular}{c|c}
    $I_{eff}$ [\ampere] & $D$ [\kilo\gram\square\metre\per\square\second]\\
    \hline
    0,5 & \fiktiv{$(0{,}36 \pm 0{,}021 \pm 0{,}037)\cdot 10^{-9}$}\\
    0,6 & $(1,02 \pm 0,059 \pm 0{,}044)\cdot 10^{-9}$\\
    0,7 & \fiktiv{$(1{,}8 \pm 0{,}11 \pm 0{,}052)\cdot 10^{-9}$}
  \end{tabular}
  \caption{Drehmomentberechnung mit $\beta_2$}
\end{table}

\section{Erdmagnetfeld}

Zur Kompensation des Erdmagnetfelds haben wir die felderzeugende Spule nun
bei der Resoanzfrequenz mit $I_{eff} = \unit{600}{mA}$ betrieben. Dann stellten
wir sicher, dass das Helmholtzspulenpaar richtig ausgerichtet ist und haben
langsam den Gleichstrom $I_{helmholtz}$ durch das Spulenpaar hochgefahren.
Dabei achteten wir auf den Lichtstreifen um eine Absenkung der
Resonanzamplitude zu beobachten. Jedoch konnten wir bis zum Anschlag von
$I_{helmholtz} = \unit{1{,}4}{A}$ keine solche erkennen.

Wir wiederholten dieselbe Prozedur auch bei Spulenströmen von
$I_{eff} = \unit{500}{mA}$ und $I_{eff} = \unit{700}{mA}$, mit dem gleichen
Ergebnis. Wir schließen daraus, dass das Erdmagnetfeld entweder keinen
Einfluss auf das Experiment hat weil der Effekt zu klein ist, oder andere
Störfaktoren größer sind, sodass man den Einfluss des Erdmagnetfeldes nicht
mehr sieht.

\section{$\left(\frac{dM}{dt}\right)_1$ aus ballistischem Galvanometer}
Wir wollen die Änderung der Magnetisierung zunächst wie in der Vorbereitung beschrieben mit einem ballistischen Galvanometer bestimmen.

\subsection{Kalibrierung des Galvanometers}
Um das Galvanometer zunächst zu kalibrieren, luden wir einen $\unit{30}{\nano\farad}$-Kondensator mit verschiedenen Spannungen auf und maßen die Ausschläge $A_0$ des Galvanometers beim Entladen des Kondensators. Mit $Q=C\cdot U$ lässt sich daraus die Ladung berechnen, wodurch wir die Galvanometerkonstante $k$ erhalten:
\begin{equation}
  Q = k\cdot A_0
\end{equation}
Wir erhielten folgende Werte:
\begin{figure}[H]
  \centering
    \includegraphics{./galvanometer.eps}
  \caption{Kalibrierung des Galvanometers}
  \label{fig:galvanometer}
\end{figure}
Aus einer linearen Regression an die Werte erhalten wir für die Galvanometerkonstante:
\begin{equation}
  k = \unit{5,28\cdot 10^{-6}}{\coulomb\per\milli\metre} \pm 0,51\%
  \label{eqn:galvanometerkonstante}
\end{equation}
\subsection{Berechnung des Integrals}
Mit dem nun vorhandenen Kalibrierungsfaktor $k$ können wir jetzt das für die gesuchte Größe benötigte Integral berechnen:
\begin{equation}
  Q=k\cdot A_0 = \frac{1}{R_E}\int_{0}^{T/4}dt\,U_{ind}
\end{equation}
Da wir das Integral über die halbe Periodendauer benötigen, folgt
\begin{equation}
  \int_{0}^{T/2}dt\,U_{ind} = 2\int_{0}^{T/4}dt\,U_{ind}=2R_E\cdot k\cdot A_0 \ \text{,}
\end{equation}
wobei $R_E$ der Ersatzwiderstand der Schaltung ist, der sich zu 
\begin{equation}
  \frac{1}{R_{E}} = \frac{1}{\unit{9,5}{\kilo\ohm} + \unit{25}{\ohm}} + \frac{1}{\unit{37}{\ohm}} = \frac{1}{\unit{36,9}{\ohm}}
  \label{eqn:ersatzwiderstand}
\end{equation}
und somit
\begin{equation}
  R_E = \unit{36,9}{\ohm}
\end{equation}
berechnet. $A_0$ ist hier der Maximalausschlag des Galvanometers beim Abschalten eines Gleichstroms $\hat{I}$ durch die Feldspule. Diesen wählen wir so, dass er den Effektivwerten bei Wechselstrom gleichkommt, also um den Faktor $\sqrt{2}$ größer. Wir führen die Messung von $A_0$ für die Effektivwerte \unit{0,5}{\ampere}, \unit{0,6}{\ampere} und \unit{0,7}{\ampere} jeweils fünf mal durch, um statistische Ungenauigkeiten zu vermeiden.

Die gesuchte Änderung der Magnetisierung erhalten wir schlussendlich über 
\begin{equation}
  \left(\frac{dM}{dt}\right)_1 = -\frac{4}{\mu_0 T N_2 F_0}\int_{0}^{T_2}dt\, U_{ind} + \frac{8N_1\cdot \hat{I}}{l\cdot T}\frac{F_2}{F_0} \ \text{,}
\end{equation}
wo wir die berechneten Werte für das Integral einsetzen. Wir verwenden dabei folgende Größen:
\begin{itemize}
  \item Resonanzperiode $T=\unit{42,92}{\milli\second}$ des schwingenden Systems
  \item Querschnittsfläche des Stabs $F_0 = \pi\cdot r_0^2 = \pi(\unit{0,002}{\metre})^2$
  \item Windungszahl der Feldspule $N_1 = 1845$
  \item Länge der Feldspule $l=\unit{0,29}{\metre}$
  \item Querschnittsfläche der Induktionsspule $F_2 = \pi\cdot r_2^2 = \pi(\unit{0,0155}{\metre})^2$
  \item Windungszahl der Induktionsspule $N_2 = 1000$
\end{itemize}
Wir erhalten somit folgende Ergebnisse, wobei wir immer zunächst den statistischen und dann den systematischen Fehler angeben: 
\begin{table}[H]
  \centering
  \label{tab:int_galvanometer}
  \begin{tabular}{c|c|c|c}
    $\hat{I}$ [\ampere] & $A_0$ [\milli\metre] & $\int_{0}^{T/2} \mathrm dt \, U_{ind}$ [\volt\second] & $(dM/dt)_1$ [\ampere\per(\second\metre)]\\[0.1cm]
    \hline
    $0{,}707 \pm 0{,}0005$ & $97{,}4  \pm 0{,}56\% \pm 2{,}05\%$ & $38\cdot 10^{-3}   \pm 0{,}78\% \pm 2{,}05\%$ & $-1{,}74\cdot 10^{8} \pm 1{,}01\% \pm 2{,}65\%$  \\
    $0{,}848 \pm 0{,}0005$ & $103{,}2 \pm 0{,}43\% \pm 1{,}94\%$ & $40{,}2\cdot 10^{-3} \pm 0{,}69\% \pm 1{,}94\%$ & $-1{,}77\cdot 10^{8} \pm 0{,}92\% \pm 2{,}6\%$  \\
    $0{,}99  \pm 0{,}0005$ & $108{,}2 \pm 0{,}41\% \pm 1{,}85\%$ & $43{,}2\cdot 10^{-3} \pm 0{,}41\% \pm 1{,}85\%$ & $-1{,}78\cdot 10^{8} \pm 0{,}58\% \pm 2{,}58\%$
  \end{tabular}
  \caption{Magnetisierungsänderung aus ball. Galvanometer}
\end{table}
Der statistische Fehler von $A_0$ folgt aus der mehrfachen Messung, als systematischen haben wir einen Fehler von \unit{2}{\milli\metre} angenommen, da der Ausschlag des Galvanometers recht schnell ablief und die Maximalposition daher nicht allzu leicht zu bestimmen war.

In den statistischen Fehler des Integrals gehen daher die Fehler von $A_0$ sowie von $k$ mittels der Gaußschen Fehlerfortpflanzung ein, letzteren erhielten wir direkt aus der Regression. In den systematischen Fehler geht hier nur der systematische Fehler von $A_0$ über eine Größtfehlerabschätzung ein.

\section{$\left(\frac{dM}{dt}\right)_1$ aus Oszilloskopdaten}

Nun haben wir anstatt des Galvanometers das Oszilloskop an die Induktionsspule
angeschlossen. Dieses zeichnete direkt den zeitlichen Verlauf der
Induktionsspannung auf und leitet die Daten zur Auswertung an einen Computer
weiter. Das folgende Schaubild zeigt den erhaltenen Verlauf für
$I_{eff} = \unit{0{,}6}{A}$:

\begin{figure}[H]
  \centering
    \includegraphics{./induktion600.eps}
  \caption{Induktionsspannung bei $I_{eff} = \unit{0{,}6}{A}$ in der Feldspule}
  \label{fig:induktion600}
\end{figure}

Von zentraler Bedeutung zur Berechnung von
$\left(\frac{dM}{dt}\right)_1$ sind nun der Korrekturfaktor $\kappa$ und der
Wert des Integrals $\int \mathrm dt U_{ind} \sin{\left(\omega_{res} t\right)}$.
Es gilt

\begin{equation}
\kappa = \frac{\int_0^\frac{T}{2} \mathrm dt \, U_{ind} \text{ (Gemessen mit dem Galvanometer)}}
              {\int_0^\frac{T}{2} \mathrm dt \, U_{ind} \text{ (Gemessen mit dem Oszilloskop)}}
\end{equation}

Die mit dem Galvanometer ermittelten Werte haben wir im vorigen Abschnitt
bereits berechnet. Sie sind in Tabelle \ref{tab:int_galvanometer} aufgeführt.
Zur Berechnung mit dem Oszilloskop haben wir eine Rechteckssumme über die
Messwerte gebildet. Als (systematischen) Fehler haben wir die halbe Auflösung
des Oszilloskops, $\delta t = \unit{100}{\micro\second}$ und
$\delta U = \unit{0{,}04}{V}$, angenommen. Dies führt zu einem mit dem
Oszilloskop gemessenem Wert für das Integral und somit zu folgenden
Korrekturfaktoren

\begin{table}[H]
  \centering
  \begin{tabular}{c|c|c|c}
    $I_{eff}$ [\ampere] & $\int_{0}^{T/2} \mathrm dt \, U_{ind}$ (Gal.) [\volt\second] & $\int_{0}^{T/2} \mathrm dt \, U_{ind}$ (Osz.) [\volt\second] & $\kappa$ \\[0.1cm]
    \hline
    $0{,}5$ & $38{,}0\cdot 10^{-3} \pm 0{,}78\% \pm 2{,}05\%$ & $41{,}9\cdot 10^{-3} \pm 0{,}17\%$ & $0{,}907 \pm 0{,}78\% \pm 2{,}23\%$ \\
    $0{,}6$ & $40{,}2\cdot 10^{-3} \pm 0{,}69\% \pm 1{,}94\%$ & $43{,}8\cdot 10^{-3} \pm 0{,}16\%$ & $0{,}918 \pm 0{,}69\% \pm 2{,}10\%$ \\
    $0{,}7$ & $43{,}2\cdot 10^{-3} \pm 0{,}41\% \pm 1{,}85\%$ & $45{,}6\cdot 10^{-3} \pm 0{,}16\%$ & $0{,}947 \pm 0{,}42\% \pm 2{,}02\%$
  \end{tabular}
  \caption{Korrekturfaktor $\kappa$}
\end{table}

Auf die gleiche Art und Weise haben wir den Wert und den Fehler des Integrals
$\int \mathrm dt U_{ind} \sin{\left(\omega_{res} t\right)}$ mit dem
Oszilloskop bestimmt. Allerdings muss man sich hier noch klarmachen, wo der
Zeitnullpunkt bzw. der Beginn einer Periode liegt: Bei einem Nulldurchgang des
Stroms ist die Magnetisierung gerade maximal. $t=0$ wurde also auf das erste
Maximum des Signals gelegt und letzteres von hier an dann über eine Periode
integriert.

Daraus ergibt sich $\left(\frac{dM}{dt}\right)_1$, wie in der Vorbereitung
besprochen, nach

\begin{equation}
  \left(\frac{\mathrm dM}{\mathrm dt}\right)_1 =
  -\frac{1}{\mu_0 N_2 F_0} \kappa \frac{2}{T}\int_0^T \mathrm dt \, U_{ind} \sin{\left(\omega_{res} t\right)} +
  \frac{N_1 \hat{I} \omega_{res} F_2}{F_0 l}
\end{equation}

Für unsere Werte erhalten wir damit die folgenden Magnetisierungsänderungen:

\begin{table}[H]
  \centering
  \label{tab:int_oszilloskop}
  \begin{tabular}{c|c|c}
    $I_{eff}$ [\ampere] & $\int_{0}^{T} \mathrm dt \, U_{ind} \sin{\left(\omega_{res} t\right)}$ [\volt\second] & $(dM/dt)_1$ [\ampere\per(\second\metre)]\\[0.1cm]
    \hline
    $0{,}5$ & $28{,}8\cdot 10^{-3} \pm 0{,}31\%$ & $-3{,}75\cdot 10^{7} \pm 1{,}61\% \pm 5{,}36\%$ \\
    $0{,}6$ & $27{,}5\cdot 10^{-3} \pm 0{,}32\%$ & $-2{,}70\cdot 10^{7} \pm 1{,}91\% \pm 6{,}68\%$ \\
    $0{,}7$ & $27{,}3\cdot 10^{-3} \pm 0{,}33\%$ & $-2{,}11\cdot 10^{7} \pm 1{,}53\% \pm 8{,}51\%$
  \end{tabular}
  \caption{Magnetisierungsänderung aus Oszilloskop}
\end{table}

\section{Berechnung von $g$}
$g$ berechnet sich nun einfach über
\begin{equation}
  g = \frac{2m_eV}{q_e}\cdot\frac{\left(\frac{dM}{dt}\right)_1}{D} \ \text{.}
\end{equation}

Wir erhalten nun für beide Methoden der Bestimmung von
$\left(\frac{\mathrm dM}{\mathrm dt}\right)_1$ jeweils für beide $\beta$-Werte
einen Wert für $g$. Der Fehler ergibt sich aus einer Größtfehlerabschätzung
der Fehler von $D$ und $\left(\frac{\mathrm dM}{\mathrm dt}\right)_1$.

\begin{table}[H]
  \centering
  \label{tab:int_oszilloskop2}
  \begin{tabular}{c|c|c|c}
    $\left(\frac{\mathrm dM}{\mathrm dt}\right)_1$ & $I$ [\ampere] & $\beta$ & $g$ \\
    \hline
    Galvanometer & $\beta_1$ & $0{,}5$ & \fiktiv{$1{,}47 \pm 1{,}01\% \pm 12{,}83\%$} \\
    Galvanometer & $\beta_2$ & $0{,}5$ & \fiktiv{$17{,}21 \pm 5{,}94\% \pm 5{,}49\%$} \\
    Galvanometer & $\beta_1$ & $0{,}6$ & $0{,}531 \pm 0{,}92\% \pm  6{,}92\%$ \\ 
    Galvanometer & $\beta_2$ & $0{,}6$ & $6{,}224 \pm 5{,}93\% \pm  6{,}92\%$ \\
    Galvanometer & $\beta_1$ & $0{,}7$ & \fiktiv{$0{,}30 \pm 0{,}58\% \pm 5{,}49\%$} \\
    Galvanometer & $\beta_2$ & $0{,}7$ & \fiktiv{$3{,}54 \pm 5{,}88\% \pm 5{,}49\%$} \\
    Oszilloskop & $\beta_1$ & $0{,}5$ &  \fiktiv{$0{,}32 \pm 1{,}61\% \pm 15{,}55\%$} \\
    Oszilloskop & $\beta_2$ & $0{,}5$ &  \fiktiv{$3{,}73 \pm 11{,}89\% \pm 11{,}40\%$} \\
    Oszilloskop & $\beta_1$ & $0{,}6$ & $0{,}081 \pm 1{,}91\%  \pm 11{,}00\%$ \\
    Oszilloskop & $\beta_2$ & $0{,}6$ & $0{,}945 \pm 7{,}74\%  \pm 10{,}98\%$ \\
    Oszilloskop & $\beta_1$ & $0{,}7$ & \fiktiv{$0{,}036 \pm 1{,}53\%  \pm 11{,}40\%$} \\
    Oszilloskop & $\beta_2$ & $0{,}7$ & \fiktiv{$0{,}417 \pm 4{,}42\%  \pm 14{,}62\%$}
  \end{tabular}
  \caption{g-Faktor}
\end{table}

\section{Fazit}

Wie man an den vielen erhaltenen $g$-Werten sieht haben sie leider keine allzu
große Aussagekraft, da sie über zwei Größenordnungen schwanken. Erwartet haben
wir einen Wert nahe $g = 2$.

Auf der einen Seite ist das natürlich auf die grob unterschiedlichen
Abklingzeiten $\beta_1$ und $\beta_2$ zurückzuführen. Es liegt nahe, dass wir
in der Berechnung bei einem der beiden Zeiten einen Faktor $10$ übersehen
haben, allerdings konnten wir auch nach mehrmaligem Überprüfen keinen Fehler
feststellen. Es ist auch schwer zu sagen, welcher der beiden Werte eher dem
wahren Wert entspricht, da es für beide auch $g$-Faktoren in der erwarteten
Größenordnung von 1 gibt.

Auf der anderen Seite führen auch die beiden unterschiedlichen Methoden zur
Bestimmung der Magnetisierungsänderung zu signifkant voneinander abweichenden
Werten von $\left(\frac{dM}{dt}\right)_1$.

Auffällig ist, dass die Werte auch nicht innerhalb ihrer Fehlergrenzen
miteinander in Einklang zu bringen sind. Dies deutet darauf hin, dass 
mindestens eine weitere erhebliche uns nicht bekannte systematische
Fehlerquelle existiert. Selbst wenn diese bekannt wäre hätte man aber noch
nicht viel gewonnen wenn man sie nicht quantitiv erfassen kann, da man sonst
Fehler von mehreren $100\%$ erhalten würde, was eine genaue Bestimmung von $g$
unmöglich macht.

Ein konkreter Verdacht liegt in der sehr empfindlichen Aufhängung des
Glasfadens begründet. Kleine Abweichungen von der Ideallage in der Mitte
können bewirken, dass der Stab sich nicht im homogenen Teil des Magnetfelds
der Feldspule befindet.

\end{document}
