\documentclass[11pt,a4paper]{scrartcl}

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\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\todo}[1]{\textcolor{red}{#1}}

\begin{titlepage}
\title{\textmd{Physikalisches Fortgeschrittenenpraktikum}\\\vspace{0.5cm}Halbleiterspektroskopie\\[1cm] \textrm{\textit{\textmd{-- Vorbereitung --}}}\\[0.5cm]}
\author{\LARGE{Armin Burgmeier} \and \LARGE{Robert Schittny}}
\date{}
\end{titlepage}

\begin{document}
\maketitle
\section{Grundlagen}
\subsection{Transmission und Absorption}
Trifft eine Welle auf ein Medium, so wird sie je nach den Stoffeigenschaften des Mediums teilweise reflektiert und der durch das Medium hindurchtretende Teil teilweise oder ganz absorbiert.
\paragraph{Transmissionskoeffizient}
Der Transmissionskoeffizient ist ein Maß für die Durchlässigkeit eines Hindernisses und definiert als Quotient der Eingangs- und der Ausgangsintensität:
\begin{equation}
  T = \frac{I}{I_0}
  \label{eqn:transmission}
\end{equation}
Dieser nimmt Werte zwischen Null und eins an.

\paragraph{Absorptionskoeffizient}
Bei niedrigen Energien ist die Wahrscheinlichkeit der Absorption einer Welle in einem Medium für jedes Wegelement gleich. Dies führt zu einem exponentiellen Abklingen der Intensität im Medium, die wie folgt beschrieben werden kann:
\begin{equation}
  I(x) = I_0\cdot e^{-\alpha\cdot x}
  \label{eqn:absorption}
\end{equation}
Dabei ist $\alpha$ der sog. \emph{Absorptionskoeffizient}.
\subsection{Fabry-Perot-Interferenzen}
\label{sec:fabry_perot}
Fabry-Perot-Interferenzen entstehen beim Durchgang von Licht durch einen optischen Resonator, beispielsweise zwei planparallele Spiegel hoher Reflektivität oder auch einer dünnen Schicht eines reflektiven Materials. Dabei wird das einfallende Licht mehrmals im Resonator reflektiert, wodurch es je nach Wellenlänge und Breite des Resonators zu konstruktiver oder destruktiver Interferenz kommt. Konstruktive Interferenz entsteht genau dann, wenn die Dicke des Resonators ein Vielfaches der halben Wellenlänge des eingestrahlten Lichts beträgt.

Fabry-Perot-Interferenzen kann man sich zur Bestimmung der Dicke sehr dünner Schichten zunutze machen, da diese dann als Fabry-Perot-Interferometer wirken. Für die Extrema im Transmissionsspektrum gilt dabei
\begin{equation}
  2nd = (m + \frac{l}{2})\cdot \lambda \quad \text{,} \quad l=0,\,1,\, \ldots \quad m=const. \ \text{,}
\end{equation}
mit der Numerierung $l$ der Extrema.
Auflösen nach $l$ liefert
\begin{equation}
  l = 4d\cdot \frac{n(\lambda)}{\lambda}-2m \ \text{,}
\end{equation}
trägt man also $l$ über dem Quotienten aus Brechzahl und Wellenlänge auf, ist die Schichtdicke $d$ gerade ein Viertel der Kurvensteigung.
\subsection{Bändermodell}
Zur Beschreibung der Leitungseigenschaften von Festkörpern eignet sich das
\emph{Bändermodell}. Dabei betrachtet man ein schwaches periodisches Potential,
welches von den periodisch im Kristallgitter angeordneten Atomkernen erzeugt
wird. Außerdem wird die Wechselwirkung zwischen den Elektronen vernachlässigt.
Letzteres führt dazu, dass die Elektronen-Wellenfunktionen unabhängig
voneinander sind und man den Kristall mit 1-Elektronen-Wellenfunktionen
beschreiben kann.

Das Bloch-Theorem besagt, dass die Wellenfunktion eines Elektrons im
periodischen Potential einer Blochwelle entspricht:

\begin{equation}
\Psi_{n,\vec{k}}\left(\vec{r}\right) =
  \frac{1}{\sqrt{\Omega}}
  \mathrm e^{\mathrm i\vec{k}\vec{r}} u_{n,\vec{k}}\left(\vec{r}\right)
\end{equation}
$\Omega$ ist dabei ein Normierungsfaktor, $\vec{k}$ ein Wellenvektor, $n$ der
Bandindex und $u_{n,\vec{k}}$ ist eine gitterperiodische Funktion, die im
wesentlichen die Wechselwirkung mit den Atomorbitalen beschreibt.

\begin{equation}
u_{n,\vec{k}}\left(\vec{r} + \vec{R}\right) = u_{n,\vec{k}}\left(\vec{r}\right)
\end{equation}
wobei $\vec{R}$ ein Gittervektor ist. Daraus ergibt sich, dass die
Energieeigenwerte auch periodisch sind

\begin{equation}
\label{eq:energy_periodicity}
E_n\left(\vec{k} + \vec{G}\right) = E_n\left(\vec{k}\right)
\end{equation}
mit einem reziproken Gittervektor $\vec{G}$. Diese Periodizität begründet die
Darstellung der Elektronenzustände in einem reduzierten Zonenschema, bei dem
nur die erste Brillouinzone dargestellt ist. Energiewerte in allen weiteren
Brillouinzonen kann man nach Gleichung (\ref{eq:energy_periodicity}) in die
erste Brillouinzone zurückführen.

Die Energiedispersion $E\left(\vec{k}\right)$ unterscheidet sich vor allem am
Rand der Brillouinzone von der für freie Elektronen\footnote{
$E\left(\vec{k}\right) = \frac{\hbar^2\vec{k}^2}{2m}$}. Man findet, dass am
Zonenrand

\begin{figure}
\centering
\includegraphics{band.eps}
\caption{Elektronenzustände im reduzierten Zonenschema}
\label{fig:band}
\end{figure}

\begin{equation}
\vec{\nabla}_\vec{k} E_n\left(\vec{k}\right) = 0
\end{equation}
gelten muss. Dadurch enstehen Energiebereiche, in denen es keine erlaubten
Elektronenzustände gibt. Diese Bereiche werden Bandlücken genannt. Die
Bereiche mit erlaubten Zuständen nennt man (Energie-)Bänder. In Abbildung
$\ref{fig:band}$ ist dies für eine Dimension veranschaulicht.

Für $T = \unit{0}{K}$ besetzt man nun die Zustände für alle im Kristall
vorhandenene Elektronen nach der Fermi-Dirac-Statistik. Je nach Material kann
es dabei vorkommen, dass die Fermi-Energie dann in einer Bandlücke oder
innerhalb eines Bandes liegt. Im letzteren Fall sind eine bestimmte Anzahl von
Bändern voll mit Elektronen besetzt (Valenzbänder), das darüber liegende Band
ist teilweise besetzt und alle darauf folgenden Bänder sind nicht besetzt
(Leitungsbänder). In diesem Fall hat man ein Metall vorliegen.

Liegt die Fermi-Energie innerhalb einer Bandlücke, so gibt es kein teilweise
besetztes Band. Hier spricht man von einem Halbleiter oder Isolator, je
nachdem wie groß die Energielücke zwischen dem höchsten Valenzband und dem
niedrigsten Leitungsband ist. Der Übergang ist fließend. Als Faustregel gilt,
dass man über einer Bandlücke von $E_g = \unit{4}{eV}$ von einem Isolator
spricht.

\subsection{Elektronen und Löcher}

Für $T > \unit{0}{K}$ ist es bei Halbleitern möglich, eine endliche
Leitfähigkeit herzustellen. Dazu muss man einige Elektronen ins Leitungsband
bringen oder Zustände im höchsten Valenzband unbesetzt lassen (denn volle und
leere Bänder tragen nicht zur Leitfähigkeit bei). In letzterem Fall betrachtet
man nicht die in der Größenordnung von $10^{23}$ liegenden Elektronen im
höchsten Valenzband, sondern stattdessen die unbesetzten Zustände. Diese
verhalten sich genauso wie ein elektronischer Ladungsträger, allerdings mit
umgekehrter Ladung, umgekehrtem Spin und umgekehrtem Impuls. Solch ein
unbesetzter Zustand wird auch als "`Defektelektron"' oder "`Loch"' bezeichnet.

Den beiden Ladungsträgern kann man nun noch eine effektive Masse

\begin{equation}
m = \frac{\hbar^2}{\frac{\partial^2 E}{\partial k^2}}
\end{equation}
zuordnen, mit der sie nach $F = ma$ auf eine äußere Kraft reagieren. Da wir im
folgenden vor allem am Übergang vom höchsten Valenz- zum niedrigsten
Leitungsband interessiert sind, und dort $E(\vec{k})$ annähernd quadratisch
verläuft (vgl. Abbildung \ref{fig:band}), nehmen wir die effektive Masse als
konstant an.

Es gibt nun mehrere Möglichkeiten um Elektronen in einem Halbleiter ins
Leitungsband oder Löcher ins Valenzband zu induzieren:

\begin{enumerate}
\item \emph{Thermische Anregung}

Bei $T > \unit{0}{K}$ wird ein kleiner Teil der Elektronen des höchsten
Valenzbandes in das niedrigste Leitungsband thermisch angeregt. Da auf diese
Weise Elektronen und Löcher immer paarweise entstehen gilt für die
Konzentrationen von positiven bzw. negativen Ladungsträgern $n$ und $p$:

\begin{equation}
n = p = n_i\left(T\right)
\end{equation}
$n_i\left(T\right)$ nennt man die \emph{intrinsische Elektronenkonzentration}.
Bei den meisten Halbleitern ist sie jedoch sehr klein, sodass die thermische
Anregung nur einen untergeordneten Effekt darstellt.

\item \emph{Dotierung}

Als \emph{Dotierung} bezeichnet man das gezielte Verunreinigen eines Halbleiters
indem man Fremdatome in das Kristallgitter einbaut. Besonders interessant sind
Elemente der fünften Hauptgruppe, da sie ein schwach gebundenes Elektron haben
das ins Leitungsband angeregt werden kann. Diese Elemente nennt man Donatoren.

Umgekehrt kann man ebenso gut Elemente der dritten Hauptgruppe einbauen. Diese
Elemente nehmen leicht ein Elektron des Valenzbandes auf, was gleichbedeutend
mit der Abgabe eines Loches in das Valenzband ist. Man nennt sie auch
Akzeptoren.

Durch Dotierung kann man also die Anzahl der Ladungsträger einer Sorte
(Elektronen oder Löcher, je nachdem ob man Donatoren oder Akzeptoren in das
Kristallgitter einbaut) deutlich erhöhen. Da einige der Donatorelektronen
auch mit thermisch angeregten Löcher rekombinieren (bzw. umgekehrt
Akzeptorlöcher mit thermisch angeregten Elektronen) nimmt die
Ladungsträgerkonzentration der anderen Ladungsträgersorte durch Dotierung auch
ab. Im thermischen Gleichgewicht gilt jedoch immer

\begin{equation}
n p = \left(n_i\left(T\right)\right)^2
\end{equation}

Je nach Dotierungselement spricht man von n- oder p-Halbleitern.

\item \emph{Optische Anregung}

Auch durch optische Anregung können Elektronen vom Valenz- ins Leitungsband
gehoben werden. Dabei ist bei der Energiebilanz darauf zu achten, dass auch
der Quasiimpuls $\hbar \vec{k}$ erhalten sein muss. Liegt das Maxmimum des
Valenzbandes also nicht beim gleichen $\vec{k}$-Wert wie das Minimum des
Leitungsbandes, so wird zudem noch ein Phonon mit Quasiimpuls
$\hbar \Delta \vec{k}$ erzeugt.

\end{enumerate}

\subsection{Zustandsdichte}
Aus der Quantenmechanik folgt, dass jeder Zustand im $k$-Raum ein Volumen 
\begin{equation}
  d\tau_k = \frac{\pi}{l}
\end{equation}
benötigt. In einer Kugelschale im dreidimensionalen $k$-Raum mit Radius $k$ und Dicke $dk$ finden demnach
\begin{equation}
  N(k)dk = \frac{l^3\cdot 4k^2 dk}{\pi^2}
\end{equation}
Zustände Platz.

Dies lässt sich für d-dimensionale Systeme verallgemeinern zu
\begin{equation}
  N(k)dk \propto l^dk^{d-1}dk \ \text{.}
\end{equation}
Dies gilt für alle freien Teilchen und Quasiteilchen, die sich durch ebene Wellen beschreiben lassen.

Zweckmäßiger ist jedoch die Zustandsdichte $D(E)$ in Abhängigkeit von der Energie. Diese folgt aus der formalen Überlegung
\begin{equation}
  D(E)dE = N\left(k(E)\right)\cdot \frac{1}{|v_g|}dE
\end{equation}
sowie der Beschränkung auf Teilchen oder Anregungsquanten mit einer quadratischen Energie-Impuls-Relation
\begin{equation}
  E(\vec{k})=\frac{\hbar^2 \vec{k}^2}{2m}=\frac{\vec{p}^2}{2m} \ \text{,}
\end{equation}
und liefert folgende Proportionalität:
\begin{equation}
  D(E)dE \propto E^{d/2-1}dE
\end{equation}
Im Dreidimensionalen erhält man also eine wurzelförmige Zustandsdichte, im Zweidimensionalen eine Reihe von Heavyside-Sprungfunktionen und im Eindimensionalen eine $1/\sqrt{E}$-Abhängigkeit. Im hier nicht abgedeckten Nulldimensionalen erhält man eine Reihe von Deltafunktionen.
\subsection{Exzitonen}
Betrachtet man den elektronischen Grundzustand eines Halbleiters, so erhält man den niedrigsten angeregten Zustand offenbar dadurch, ein Elektron aus dem höchstliegenden Niveau des höchsten Valenzbandes entnimmt und in das niedrigste Niveau des niedrigsten Leitungsbandes befördert. Diese "`Umverteilung"' ändert das periodische Potential nicht, in dem sich die Elektronen bewegen, da diese Bloch-Elektronen nicht lokalisiert sind und die Änderung der lokalen Ladungsdichte durch die Änderung des Niveaus eines einzelnen Elektrons verschwindend gering ist. Demnach läge der erste angeregte Zustand um $E_g$ über dem Grundzustand, wobei $E_g$ gerade der Bandlücke entspricht.

Die Absorptionskante läge demnach also bei der Bandlücke und wäre für einen dreidimensionalen Halbleiter wurzelförmig. In der Realität liegt die Absorptionskante jedoch unter der Bandlückenenergie, hervorgerufen durch sog. \emph{Exzitonen}.

Beschreibt man die Anregung aus dem Grundzustand nicht mit delokalisierten Elektronen, sondern durch deutlich lokalisierte Wellenpakete, die aus der Überlagerung genügend vieler Niveaus aus der Umgebung der Leitungsbandkante entstehen, so steigt zunächst die Anregungsenergie leicht an, da die Energie der Wellenpakete etwas oberhalb bzw. unterhalb der Leitungs- bzw. Valenzbandkante liegt. Durch die Lokalisierung muss man das entstandene Elektron-Loch-Paar jedoch als gebundenen Zustand ähnlich dem Wasserstoffatom betrachten, sodass zusätzlich ein energieabsenkender Coulomb-Term durch die Anziehung der beiden Teilchen auftritt, welcher die Anregungsenergie kleiner als die Bandlückenenergie werden lässt.

\emph{Exzitonen} sind also Elektron-Loch-Paare in einem gebundenen Zustand mit niedrigerer Anregungsenergie als $E_g$. Diese können durch den Kristall wandern und somit ebenfalls als Quasiteilchen beschrieben werden.\\

Im Gegensatz zum Wasserstoffatom gehen in die reduzierte Masse der Exzitonen nicht die Massen $m_e$ und $m_p$ der freien Elektronen und Protonen ein, sondern die effektiven Elektron- und Lochmassen $m_c$ und $m_v$. Außerdem erfordert die Bewegung der Exzitonen durch ein polarisierbares Medium (den Festkörper) die Einführung einer Dielektrizitätskonstanten $\varepsilon$. Dies führt zu einem \emph{exzitonischen Bohrschen Radius} von 
\begin{equation}
  a_{ex}=\varepsilon\cdot\frac{m}{m^*}a_0 \quad \text{mit} \quad \frac{1}{m^*}=\frac{1}{m_c}+\frac{1}{m_v}
\end{equation}
und einer \emph{exzitonischen Rydberg-Energie} von
\begin{equation}
  \label{eq:exciton_energy}
  E_{ex}=\frac{m^*}{m}\frac{1}{\varepsilon^2}\frac{e^2}{2a_0} = \frac{m^*}{m}\frac{1}{\varepsilon^2}\cdot \unit{13,6}{\electronvolt} \ \text{.}
\end{equation}
Dieses Modell ist nur dann gültig, wenn $a_{ex}$ groß ist auf der Längenskala des Gitters, also $a_{ex} \gg a_0$, was insbesondere bei Halbleitern gut erfüllt ist, da diese im allgemeinen kleine effektive Massen und große dielektrische Konstanten haben. Exzitonen, die nach diesem Modell beschrieben werden, heißen \emph{Mott-Wannier-Exzitonen}.

Werden die atomaren Niveaus, aus denen die Bandniveaus durch Überlagerung entsehen, stärker gebunden, so werden $\varepsilon$ und $a_0$ kleiner, die reduzierte Masse $m^{*}$ wird größer und das Exziton wird stärker lokalisiert, bis das Mott-Wannier-Modell versagt. Bei diesen sog. \emph{Frenkel-Exzitonen} sind Elektron und Loch auf einer atomaren Längenskala stark lokalisiert.
\subsection{Quantentrog und Quantenpunkt}
Bei einem Quantentrog wird die Bewegung eines Teilchens auf zwei Dimensionen beschränkt, indem es in eine dünne Schicht mit kleiner Bandlücke "`eingesperrt"' wird, die von Bereichen mit großer Bandlücke umgeben ist. Teilchen, die in diese dünne Schicht gelangen, haben dann nicht genug Energie, um in die Bereiche mit großer Bandlücke zu gelangen. Die Energie eines solchen Teilchens ist dann bezüglich der Schichtrichtung $z$ quantisiert:
\begin{equation}
  E(k_x,k_y,n_z)=\frac{\hbar^2\pi^2}{2m\cdot l_z^2}\cdot n_z^2 + \frac{\hbar^2}{2m}\left(k_x^2+k_y^2\right)
\end{equation}
$l_z$ ist dabei die Schichtdicke der Bereiche mit kleiner Bandlücke.

Wir untersuchen im Versuch einen sog. \emph{Multiple Quantum Well}, der durch periodische Fortführung der Schichtfolge entsteht.\\

Dieses Spiel kann man weiterführen, sodass man durch weitere Einschränkung der Bewegungsmöglichkeiten \emph{Quantendrähte} oder vollständig quantisierte \emph{Quantenpunkte} erhält.

\section{Versuchsbeschreibung und -aufbau}

Im Versuch wollen wir die Absorptions- bzw. Transmissionscharakteristik
verschiedener Halbleiter unteruschen und entsprechende Spektren aufnehmen.
Davon ausgehend können wir auf Eigenschaften der Halbleiterbauteile, wie deren
Dicke oder die Bandlücke schließen.

Der Versuch besteht aus einer Lichtquelle, in unserem Fall einer Halogenlampe,
die den zu untersuchenden Halbleiter bestrahlt. Dabei wird mit einem
Linsensystem der Strahl auf die Probe gebündelt. Hinter der Probe befindet sich
der Detektor, der die Intensität der ankommenden Strahlung misst. Ein zweites
Linsensystem sorgt dafür, dass der Strahl auch auf den Detektor gebündelt wird.

\begin{figure}
\centering
\includegraphics{setup.eps}
\caption{Versuchsaufbau}
\label{fig:setup}
\end{figure}

Vor jeder Messung fertigen wir eine Hintergrundmessung an, um das Spektrum des
Umgebungslichts aus den interessanten Spektren herausrechnen zu können. Auch
eine Messung ohne Probe wird getätigt, um eine Referenz für die gemessenen
Spektren zu erhalten.

\section{Versuchsdurchführung}

\subsection{CdS/CdSe-Kolloide}

Als erstes untersuchen wir einen Glasstab mit CdS/CdSe-Kolloiden. Dazu nehmen
wir an, dass die Absorptionskante der größten Kolloide mit der Bandlücke von
CdS/CdSe übereinstimmt, das Spektrum der größten Kolloide also quasi bereits
kontinuierlich ist. Die Kolloiden werden als sphärische Quantenpunkte
betrachtet, deren Energien bei

\begin{equation}
E = n \frac{\pi^2\hbar^2}{2 \mu R^2}
\end{equation}
liegen. Dabei bezeichnet $\mu$ die reduzierte Elektronenmasse und $R$ den
Radius der Kolloide.

Es werden nun sämtliche Bereiche des Stabes untersucht und die
niederenergetischste Kante (also die am meisten rotverschobene) als Bandlücke
angenommen. An obiger Formel ist leicht zu sehen, dass diese der größten
Kolloide entspricht, da hier die benötigte Energie um den Grundzustand der
Kolloide anzuregen am kleinsten ist.

Die hochenergetischste Kante entspricht nach der gleichen Argumentation dann
dann kleinsten Kolloide. Hier hat der Grundzustand bereits eine signifikante
Energie. Um ihn anzuregen muss zusätzlich noch die Bandlücke von CdS/CdSe
überwunden werden, daher gilt:

\begin{equation}
E_{ph} = E_{gap} + \frac{\pi^2\hbar^2}{2 \mu R^2}
\end{equation}
wobei $E_{ph}$ die Energie des Photons ist, das von der kleinsten Kolloide
absorbiert wird, und $E_{gap}$ ist die Größe der Bandlücke. Umstellen nach
$R$ liefert den Radius der kleinsten Kolloide:

\begin{equation}
R  = \sqrt{\frac{\pi^2 \hbar^2}{2 \mu \left(E_{ph} - E_{gap}\right)}}
\end{equation}

\subsection{Schichtdicke und Energielücke der CdS-Probe}

Nun wollen wir die Schichtdicke und die Energielücke des CdS-Kristalls bei
verschiedenen Polarisationen des Lichts bestimmen. Hierzu nutzen wir aus, dass
beim Durchgang des Lichts durch den Kristall Fabry-Perot-Interferenz wie in
Sektion \ref{sec:fabry_perot} beschrieben auftritt. Wie dort beschreiben tragen
wir die Indizes der Maxima über $\frac{n}{\lambda}$ auf und erhalten aus der
Geradensteigung die Schichtdicke.

Die Brechzahl bei senkrechter Polarisation $n_\perp$ wird dabei mit Hilfe
der Formel

\begin{equation}
n_\perp\left(\lambda\right) = AA \sqrt{1 + \frac{\frac{BB}{2 \pi c_0}}{\left(\frac{1}{CC}\right)^2 - \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2}}
\end{equation}
bestimmt, wobei $AA = 1{,}94$, $BB = 4696$, $CC = 390$ und $\lambda$ die
Wellenlänge in Nanometer ist. Diese Formel stammt aus einer Diplomarbeit von
H. Giessen an der Universität Kaiserslautern.

Die Energielücke des Kristalls entsprecht gerade der Absorptionskante im
Spektrum.

\subsection{Dicke des GaAs-Quantenfilms}

Nun untersuchen wir Exzitonenresonanzen an einem Multiple Quantum Well (MQW) aus
GaAs. Wir gehen dabei davon aus, dass die einzelnen Schichten sich nicht
gegenseitig beeinflussen, die Potentielbarrieren zwischen den Töpfen also
unendlich hoch sind.

Wird im MQW ein Exziton im Grundzustand angeregt, so hat
dies eine Energie, die sich aus der Bandlücke $E_g$ (der Energienullpunkt liegt
am oberen Ende des Valenzbandes), der Bindungsenergie nach Gleichung
\ref{eq:exciton_energy} und der Energie im Potentialtopf. Zusammen ergibt sich

\begin{equation}
\label{eq:total_exciton_energy}
E_{ex} = E_g - \frac{m^*}{m}\frac{1}{\varepsilon^2}\cdot \unit{13,6}{\electronvolt} + \frac{\pi^2 \hbar^2}{2l^2} \frac{1}{m^*}
\end{equation}
mit der reduzierten effektiven Masse des Exzitons
$m^* = \frac{m_e m_h}{m_e + m_h}$ und reduzierten Masse des Wasserstoffatoms $m$.

Weiter erhalten wir wegen der
Spin-Bahn-Kopplung eine Aufspaltung des Valenzbandes in zwei Bänder, eines mit
schweren effektiven Lochmassen (heavy hole, hh), und eines mit leichten
Lochmassen (light hole, lh). Entsprechend können wir zwei Arten von Exzitonen
anregen. Im gemessenen Transmissionsspektrum äußert sich das bei zwei Peaks
bei den jeweiligen Exzitonenenergien. Somit erhalten wir aus Gleichung
\ref{eq:total_exciton_energy} ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen, eine
für die lh- und eine für die hh-Exzitonen. Dieses kann nach
$\frac{1}{m \varepsilon^2}$ und $l$ gelöst werden. Wir sind jedoch nur an der
Dicke $l$ eines Troges interessiert. Es ergibt sich

\begin{equation}
l = \sqrt{\frac{\pi^2\hbar^2}{2} \cdot \frac{1}{m^*_h\left(E_g - E_l\right) - m^*_l\left(E_g - E_h\right)} \cdot \left(\frac{m^*_h}{m^*_l} - \frac{m^*_l}{m^*_h}\right)}
\end{equation}

% TODO: Oder liegt das an was anderem? z.B. um die Linien in den sichtbaren
% Bereich zu kriegen?
%Um ein klares, nicht verwaschenes Spektrum mit eindeutigen Peaks zu erhalten
%ist es hierbei notwendig, die Probe mit flüssigem Stickstoff auf
%$\unit{77}{\kelvin}$ zu kühlen.

\subsection{$Cu_2O$-Bandlückenenergie und Energie der $n$p-Exzitonen}

Zuletzt nehmen wir das Spektrum zweier unterschiedlich dicker
$Cu_2O$-Kristalle auf. In den Spektren wollen wir die Exzitonenserien, also
die verschiedenen diskreten Zustände der Exzitonen erkennen. Sind die Energien
zweier Zustände bekannt, so kann daraus die Bandlücke bestimmt werden. Für die
Exzitonenenergie gilt wieder Gleichung \ref{eq:total_exciton_energy},
allerdings ist das Quasiteilchen nun nicht mehr in seiner Dimensionalität
eingeschränkt, wodurch der letzte Term wegfällt. Es bleibt

\begin{equation}
E_{ex,n} = E_g - \frac{m^*}{m}\frac{1}{\varepsilon^2} \frac{1}{n^2} \cdot \unit{13,6}{\electronvolt}
\end{equation}

Ist nun $E_{ex,n}$ für zwei verschiedene $n$, beispielsweise $n1$ und $n2$
bekannt, so erhält man wieder ein Gleichungssystem, aus dem man
$m\varepsilon^2$ und die Bandlückenenergie $E_g$ bestimmen kann. Es
ergibt sich

\begin{equation}
E_g = \frac{E_{ex,n_2} n_2^2 - E_{ex,n_1} n_1^2}{n_2^2-n_1^2}
\end{equation}

\end{document}
