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\newcommand{\todo}[1]{\textcolor{red}{#1}}

\begin{titlepage}
\title{\textmd{Physikalisches Fortgeschrittenenpraktikum}\\\vspace{0.5cm}Mößbauereffekt\\[1cm] \textrm{\textit{\textmd{-- Vorbereitung --}}}\\[0.5cm]}
\author{\LARGE{Armin Burgmeier} \and \LARGE{Robert Schittny}}
\date{}
\end{titlepage}

\begin{document}

\hyphenation{Hyper-fein-auf-spal-tung}
\hyphenation{Ge-schwin-dig-kei-ten}
\hyphenation{Ge-schwin-dig-keit}

\maketitle

\section{Grundlagen}

\subsection{Absorptions- und Emissionslinien}

Emittiert ein angeregter Kern beim Übergang in den Grundzustand ein Photon,
so erfährt er aufgrund der Impulserhaltung einen Rückstoß. Das bedeutet, dass
nicht die komplette Übergangsenergie $E_0$ an das Photon übergeben wird.
Vielmehr gilt

\begin{equation}
E_\gamma = E_0 - \frac{p_\gamma^2}{2m}
\end{equation}
mit der Kernmasse $m$.

Bei der Absorption eines Photons durch einen Kern tritt der gleiche Effekt auf:
Zur Impulserhaltung erfährt der Kern wieder einen Rückstoß. Um einen Zustand
mit der Übergangsenergie $E_0$ anzuregen ist daher die Energie

\begin{equation}
E_\gamma = E_0 + \frac{p_\gamma^2}{2m}
\end{equation}
nötig.

\paragraph{Linienbreiten}
Wegen der Heisenbergschen Unschärferelation sind die Linien nicht beliebig
scharf. Es gilt $\Delta E \cdot \Delta t \geq \hbar$. Je kurzlebiger
also ein Zustand ist, desto unschärfer ist die Energieverteilung. Diese
Unschärfe wird oft auch mit $\Gamma$ bezeichnet und (Linien)breite genannt.

Verschiede Umstände, auf die wir später noch näher eingehen werden, können
dazu führen, dass sich eine Emissions- oder Absorptionslinie weiter
verbreitert. Die Linienbreite ohne zusätzliche Verbreiterungen wird als
\emph{natürliche Linienbreite} bezeichnet.

\paragraph{Resonanzabsorption}
Man spricht von Resonanzabsorption, wenn ein Kern beim Über-gang vom
angeregten in den Grundzustand ein Photon abstrahlt welches dann von einem
anderen Kern absorbiert wird und dazu führt, dass dieser in den gleichen
Zustand übergeht in welchem der erste Kern ursprünglich war. Dies ist nur dann
möglich, wenn die Emissions- und Absorptionslinien sich überlappen, die
Linienbreite also groß genug ist.

\paragraph{Temperatureinfluss}
Bei $T = 0$ ist Resonanzabsorption im Bereich des sichtbaren Lichts möglich,
im $\gamma$-Bereich jedoch ausgeschlossen. Bei höheren Temperaturen bewegen
sich die Kerne jedoch thermisch, sie haben einen nichtverschwindenden Impuls
$p$. Bei der Emission eines Photons kommt aufgrund des Dopplereffekts dann
noch ein weiterer Term zur Photonenergie hinzu:

\begin{equation}
E_\gamma = E_0 - \frac{p_\gamma^2}{2m} + \frac{p_\gamma p}{m} \cos{\left(\vartheta\right)}
\end{equation}
Die Emission erfolgt isotrop, $\vartheta$ kann also alle Werte zwischen
$0$ und $2 \pi$ annehmen. Damit können alle Energien zwischen
$-\frac{p_\gamma p}{m}$ und $\frac{p_\gamma p}{m}$ vorkommen, die Linienbreite
wird größer. Dies reicht aus, dass bei Kernen wie $^{57}\text{Fe}$ bei Raumtemperatur
auch im $\gamma$-Bereich Resonanzabsorption auftritt, da sich die Emissions-
und Absorptionslinien nun überlappen. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass
Resonanzabsorption auftritt hängt vom Überlappintegral der beiden Kurven ab.

\subsection{Mößbauereffekt}

In einem Kristall können zusätzlich zu den bereits beschriebenen Effekten,
die die Energie des $\gamma$-Quants gegenüber der Übergangsenergie verschieben
noch Phononen der Energie $\Delta E = \hbar \Omega_s$ an- oder abgeregt werden,
wobei $\Omega_s$ die Frequenz des Phonons bezeichnet. Da $\Delta E$ kleiner
ist als die natürliche Linienbreite des Übergangs im Kern ergibt sich so ein
kontinuirliches Spektrum.

Es werden im Mittel bei Übergängen allerdings mehr Phononen emittiert als
absorbiert, sodass das Kontinuum asymmetrisch zur Übergangsenergie liegt. Dies
ist der Fall, dass Zustände mit wenig Phononen stärker besetzt sind als solche
mit vielen. Im Extremfall, nämlich im Grundzustand, sind gar keine Phonenen
angeregt sodass bei der Emission überhaupt keine mehr vernichtet werden können.
In dem Fall liegt das komplette kontinuirliche Spektrum bei kleineren Energien
als die Übergangsenergie, da hier immer noch Energie zur Phononenanregung
aufgewendet werden muss. Bei der Absorption ist es umgekehrt, hier muss die
Energie des $\gamma$-Quants über der Anregungsenergie liegen, damit nach
Anregung eines Phonons der Übergang immer noch stattfinden kann.

Der \emph{Mößbauereffekt} bezeichnet nun die Begebenheit, dass es in manchen
Kristallen eine nichtverschwindende Wahrscheinlichkeit dafür gibt, dass bei
einem Übergang keine Phononen an- oder abgeregt werden. Die
Emission bzw. Absorption findet dann statt als wäre der Kristall nichts
anderes als ein überdimensionierter Kern. Wegen seiner großen Masse ist die
Rückstoßenergie verschwindend klein und die Emissions- und Absorptionslinie
liegen beide im wesentlichen bei der Übergangsenergie. Eine ideale
Voraussetzung für Resonanzabsorption.

Man führt nun eine Größe $f\left(T\right)$ ein, den sog.
\emph{Debye-Waller-Faktor}. $f$ bezeichnet die (temperaturabhängige)
Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei einer Emission bzw. Absorption wie oben
beschrieben kein Rückstoß auftritt. Bei $^{57}\text{Fe}$ ist
$f\left(0\right) = 0{,}92$ und $f\left(\text{Raumtemperatur}\right) = 0{,}7$.
Dieses Material eignet sich daher besonders zur Untersuchung des
Mößbauereffekts.

\paragraph{Experimenteller Nachweis}

Beim Aufnehmen eines Spektrums müsste sich nun bei genügend hohem
$f\left(T\right)$ bei der Übergangsenergie ein äußerst scharfer Peak ergeben.
Er wird als \emph{Mößbauer-Linie} bezeichnet.

Befinden sich Sender und Empfänger der $\gamma$-Quanten in Ruhe, so beobachtet
man Resonanzabsorption, was sich in einem Minimum im messbaren
Transmissionsgrad niederschlägt. Da die Linie so scharf ist würde eine leichte
Energieverschiebung der Photonen die Resonanz aufheben und man würde einen
hohen Transmissionsgrad sehen.

Die Breite der Mößbauerlinie ist so schmal, dass sie mit herkömmlichen
optischen Methoden oder Halbleiterdetektoren nicht aufgelöst werden kann.
Es ist allerdings m"og-lich, sie mit Hilfe des Dopplereffekts zu bestimmen:
Bewegt sich der Sender gegen den Empfänger, so kommt es zu einer
Energieverschiebung der Photonen. Es gilt

\begin{equation}
\Delta E = \frac{v}{c} E_0
\end{equation}
wobei $E_0$ die Energie des Photons bezeichnet wenn sich der Sender in
Ruhe befände.

Es genügt eine Geschwindigkeit von $v_{max} = \unit{0{,}02}{\centi\meter\per\second}$
um die Resonanzabsorption aufzuheben. Indem man nun möglichst präzise
Sendergeschwindigkeiten zwischen $-v_{max}$ und $v_{max}$ wählt kann man
durch Bestimmung des Transmissionsgrads die Mößbauerlinie abtasten.

\subsection{Aufspaltung und Verschiebung der Linie}

Diverse Effekte führen nun zur Aufspaltung oder Verschiebung der Mößbauerlinie.
Diese sollen im folgenden untersucht werden.

\subsubsection{Hyperfeinstrukturaufspaltung}
\label{sec:hyperfine}

Durch die Bewegung der Hüllenelektronen haben manche Kerne ein inneres
magnetisches Feld am Ort des Kerns. Bei einem nichtverschwindendem Kernspin $I$
ergibt sich somit eine Energie-Aufspaltung $\Delta E = \frac{m \mu B}{I}$
durch den Zeemaneffekt, mit der magnetischen Quantenzahl $m$, die Werte zwischen
-$I$ und $I$ annehmen kann. Wir können also nicht mehr nur von einem Grundzustand
und einem angeregten Zustand ausgehen, sondern es gibt mehrere zu betrachtende
Zustände. Jeder führt zu einer eigenen Mößbauerlinie im Spektrum.

Im Versuch werden wir eine sog. \emph{Einlinienquelle} benutzen, die in ein
Material eingebettet ist welches kein internes Magnetfeld verursacht. Somit
tritt bei der Quelle keine Hyperfeinaufspaltung auf, sondern lediglich beim
Absorber.

Die Energie des emittierten Photons ändert sich also nicht zu dem vorherigen
Fall. Unter Berücksichtigung des Dopplereffekts gilt mit der Übergangsenergie
$E_0$

\begin{equation}
E_\gamma = E_0\left(1 + \frac{v}{c}\right)
\end{equation}
Resonanzabsorption tritt nun genau dann auf, wenn diese der Übergangsenergie am
Absorber entspricht:

\begin{equation}
\label{eq:hyperfine_resonance}
E_0\left(1 + \frac{v}{c}\right) = E_0^\prime - \frac{m_a\mu_aB}{I_a} + \frac{m_g\mu_gB}{I_g}
\end{equation}
Dabei bezeichnen $m_a$ und $m_g$ die magnetische Quantenzahlen des Grund- und
angeregten Zustands und $\mu_a$ bzw. $\mu_g$ die zugehörigen magnetischen
Momente. Bei $^{57}\text{Fe}$, welches wir untersuchen, ist der Kernspin des
Grundzustands $I_g = \frac{1}{2}$ und der des angeregten Zustands
$I_a = \frac{3}{2}$. Weiter ist
$\mu_g = \left(0{,}0903 \pm 0{,}0007\right) \mu_K$ bekannt, wobei
$\mu_K = \frac{e \hbar}{2 m_p} = \unit{3{,}15 \cdot 10^{-14}}{\mega\electronvolt\per\tesla}$
das Kernmagneton ist.

$E_0^\prime$ bezeichnet dabei die Übergangsenergie ohne Berücksichtigung der
Hyperfeinaufspaltung am Absorber. Für den Moment gilt noch $E_0 = E_0^\prime$,
durch einen anderen Effekt wird diese allerdings später noch verschoben sein,
weswegen wir sie hier bereits anders bezeichnen. Die Bedingung kann auch nach
$v$ umgestellt werden:

\begin{equation}
\label{eq:hyperfine_velocity}
v^*\left(m_a, m_g\right) = \underbrace{\frac{\left(E_0^\prime - E_0\right) c}{E_0}}_I
                         - \underbrace{\frac{\mu_a B c}{I_a E_0}}_A m_a
                         + \underbrace{\frac{\mu_g B c}{I_g E_0}}_G m_g
\end{equation}
Die Hyperfeinaufspaltung bewirkt also, dass die Resonanzabsorption nicht mehr
bei $v=0$ auftritt, sondern bei mehreren Stellen im Spektrum bei verschiedenen
Geschwindigkeiten. Die Auswahlregeln für Dipolstrahlung

\begin{equation}
\Delta m = m_a - m_g \in \{-1;0;1\}
\end{equation}
begrenzen die Anzahl der Resonanzen, in unserem Fall liegen 6 Stück vor.

Wir erhalten also Peaks bei 6 verschiedenen Geschwindigkeiten $v^*$. Es ist
leicht zu sehen, dass

\begin{equation}
\sum_{m_a,m_g} v^* = 6I
\end{equation}
gilt. Somit lässt sich die sogenannte \emph{Isomerieverschiebung} $I$ leicht
aus den Geschwindigkeiten bestimmen und man kann isomeriekorrigierte
Geschwindigkeiten $v$ wie folgt definieren:

\begin{equation}
v\left(m_a, m_g\right) = v^*\left(m_a, m_g\right) - I
\end{equation}
Ebenso leicht zu sehen ist, dass diese nun symmetrisch liegen, d.h. es gilt

\begin{equation}
v\left(m_a, m_g\right) = -v\left(-m_a, -m_g\right)
\end{equation}
Man erhält also drei unterschiedliche Geschwindigkeiten und drei weitere,
dem Betrag nach gleiche, negative Geschwindigkeiten. Diese seien mit $v_1$,
$v_2$ und $v_3$ bezeichnet und so gewählt, dass gelte $v_1 > v_2 > v_3$. Man
unterscheidet im weiteren vier Fälle. Anhand Gleichung
\ref{eq:hyperfine_velocity} kann man sich klarmachen, dass einer dieser Fälle
immer erfüllt ist. Aus der gleichen Gleichung kann man dann $A$ und $G$,
und daraus das Magnetfeld $B$ und das magnetische Moment im angeregten Zustand
$\mu_a$ bestimmen.

\begin{equation}
\label{eq:hyperfine_cases}
\begin{array}{rcll}
v1 - 2 v_2 -   v_3 = 0 & \Rightarrow & A = v_1 - v_2 & G = v_3 - v_2 \\
v1 - 2 v_2 +   v_3 = 0 & \Rightarrow & A = v_1 - v_2 & G = -v_3 - v_2 \\
v1 -   v_2 - 2 v_3 = 0 & \Rightarrow & A = \frac{1}{2}\left(-v_1 - v_2\right) & G =   v_2 - v_3 \\
v1 + 2 v_2 +   v_3 = 0 & \Rightarrow & A = \frac{1}{2}\left(-v_1 - v_2\right) & G =  -v_1 - v_3
\end{array}
\end{equation}

\subsubsection{Quadrupolaufspaltung}

Kerne mit nichtverschwindendem Spin $I$ und einer unsymmetrischen
Ladungsverteilung haben ein Quadrupolmoment $Q$. Es gibt die Anisotropie der
Ladungsverteilung bezüglich der Spinrichtung an. In einem elektrischen,
räumlich inhomogenem Feld (welches bei einem Atom durch die Hüllenelektronen
verursacht wird) kann sich der Quadrupol wegen der Wechselwirkung mit dem Feld
ausrichten. Dies führt auch zu einer Energieaufspaltung.

Diese Aufspaltung tritt nur bei $I > 1$ auf, weswegen bei $^{57}\text{Fe}$ nur der
angeregte Zustand mit $I = \frac{3}{2}$ aufspaltet. Weiterhin geht in den
Energieunterschied nur $m^2$ ein, daher gibt es nur zwei Aufspaltungen anstatt
deren vier. Der Energieunterschied ist bei gegebenem elektrischem Potential
$\phi$ gegeben durch

\begin{eqnarray}
\Delta E_{Q,m=\pm\frac{1}{2}} &=& -\frac{eQ}{4} \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} \\
\Delta E_{Q,m=\pm\frac{3}{2}} &=& +\frac{eQ}{4} \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}
\end{eqnarray}
wobei $z$ die Richtung sei in die der Spin ausgerichtet ist. Der Abstand der
beiden Peaks im Geschwindigkeitsspektrum ist dann

\begin{equation}
\label{eq:quadrupol}
\Delta v_Q = \Delta v_{Q,m=\pm\frac{3}{2}} - \Delta v_{Q,m=\pm\frac{1}{2}}
           = \frac{eQ}{2} \frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2} \frac{c}{E_0}
\end{equation}

\subsubsection{Isomerieverschiebung}

Berücksichtigt man, dass ein Kern nicht punktförmig ist, sondern eine
ausgedehnte Ladungsverteilung hat, so trägt auch dieser Sachverhalt zur
Energie des Kerns bei. Die zusätzliche Energie des Zustands beträgt

\begin{equation}
E = \frac{2 \pi}{3} e \left|\psi\left(0\right)\right|^2 Z e\bar{R}^2
\end{equation}
wobei $\bar{R}$ der mittlere Ladungsradius und $\psi\left(0\right)$ die
elektronische Ortswellenfunktion am Ort des Kerns ist. $\bar{R}$ ist vom
Zustand des Kerns abhängig und $\psi\left(0\right)$ von seiner chemischen
Zusammensetzung.

Eine Verschiebung der Mößbauerlinie tritt nun auf, wenn dieser Betrag für
Absorber und Quelle unterschiedlich ist (andererseits würde sich kein Effekt
bemerkbar machen, da die zusätzliche Energie die das Photon bei der Emission
erhält bei der Absorption wieder verwendet wird um den ursprünglichen Zustand
herzustellen).

Dieser Effekt wird als Isomerieverschiebung bezeichnet. Wir haben ihn in
Gleichung \ref{eq:hyperfine_resonance} durch die Hinzunahme von $E_0^\prime$
im wesentlichen schon berücksichtigt. Aus obiger Gleichung folgt nun ein
expliziter Ausdruck dafür.

\begin{equation}
E_0^\prime = E_0 + \frac{2 \pi}{3} Ze^2
       \cdot \left(\left|\psi_A\left(0\right)^2\right| - \left|\psi_Q\left(0\right)\right|^2\right)
       \cdot \left(\bar{R}_a^2-\bar{R}_g^2\right)
\end{equation}
mit den Ortswellenfunktionen $\psi_A$ und $\psi_Q$ von Absorber bzw. Quelle
und den mittleren Ladungsradien $\bar{R}_a$ und $\bar{R}_g$ im angeregten bzw.
im Grundzustand.

Dies führt dazu, dass die Linien im Geschwindigkeitsspektrum nicht mehr
symmetrisch um $v=0$ liegen. Jedoch kann die Verschiebung bestimmt werden,
wenn man zwei Peaks hat von denen man weiß dass sie ohne Isomerieverschiebung
symmetrisch liegen würden. Dann entspricht die Mitte dieser beiden Peaks gerade
der Verschiebung.

\section{Versuchsaufbau und -durchführung}

Wie bereits an anderer Stelle angesprochen verwenden wir eine Einlinienquelle
als beweglichen Emitter. Die Geschwindigkeit wird von einem
Funktionsgenerator periodisch wahlweise dreiecksförmig oder sinusförmig
durchfahren. Gemessen wird nun die Transmissionsrate der emittierten Photonen
hinter verschiedenen Absorbern. Die Geschwindigkeit der Quelle wird in viele
Intervalle eingeteilt und jedem Intervall ein separater Zähler zugeordnet. Der
Funktionsgenerator selbst legt fest welcher Zähler gerade aktiv ist, abhängig
davon welche Geschwindigkeit er gerade erzeugt.

Die äußerst genaue Bestimmung der Geschwindigkeit erfolgt mithilfe eines
Michelson-Interferometers. Dazu spaltet ein Strahlteiler den Laserstrahl eines
NeHe-Lasers auf. Die Strahlen werden jeweils an Prismen reflektiert (von denen
eines beweglich ist, da mit der Quelle verbunden) und treffen dann auf eine
Photodiode und interferieren dort. Die Geschwindigkeit ergibt sich daraus zu

\begin{equation}
v = \frac{\lambda}{2} \frac{N}{BZ}
\end{equation}
wobei $N$ die Anzahl der Hell-Dunkel-Übergänge ist und $BZ$ die Gesamtzeit
in $\micro\second$ in der der dieser Geschwindigkeit zugehörige Zählkanal
aktiv ist. Diese kann durch die Einstellung der Frequenz am Funktionsgenerator
bestimmt werden. Die Wellenlänge eines NeHe-Lasers beträgt
$\lambda = \unit{632{,}8}{\nano\meter}$. Zur Kalibration kann anstatt der
Hell-Dunkel-Übergänge des Lasers ein $\unit{1}{\mega\hertz}$-Signal dienen.

Der eigentliche Antrieb funktioniert mit Hilfe zweier Spulen mit
Permanentmagneten zweier Spulen. Die Antriebseinheit erzeugt eine Spannung
proportional zum aktuellen Wert des Funktionsgenerators und steuert damit die
Antriebsspule an. Die andere Spule bewegt sich mit der Quelle mit. Dort wird
daher eine Spannung proportional zur Geschwindigkeit induziert. Diese Spannung
wird nach entsprechender Verstärkung mit der Refernenzspannung vom
Funktionsgenerator verglichen und die Differenz auf die Antriebsspule
zurückgekoppelt um die gewünschte Geschwindigkeit zu erreichen bzw.
beizubehalten.

%\subsection{Diskriminierung der $\unit{14{,}4}{\kilo\electronvolt}$-Linie des $^{57}\text{Fe}$}

% TODO: Machen wir das zur Kalibration?
%Wir nehmen das Spektrum durch Durchfahren des Geschwindigkeitsbereiches auf
%und halten nach der Mößbauerlinie Ausschau.
% TODO: ???

\subsection{Aufnahme von Spektren verschiedener Materialien und Isomerieverschiebung}

Wir nehmen nur durch Durchfahren des Geschwindigkeitsbereichs
Mößbauerspektren von verschiedenen Proben auf. Anhand derer können wir dann
nach Ablesen der Absorptionspeaks durch Bestimmung von zusammengehörigen
Peaks die Isomerieverschiebung bestimmen. Im einzelnen untersuchen wir Eisen,
Vacromium, $\text{FePO}_4$ und $\text{FeSO}_4$.

\subsection{Lebensdauer des $\unit{14{,}4}{\kilo\electronvolt}$-Zustands von Vacromium}

Die Lebensdauer $\tau$ ist durch

\begin{equation}
\Gamma \tau \geq \hbar
\end{equation}
gegeben. Wir werden zur Bestimmung Gleichheit annehmen. % TODO: Gibt es dazu eine vernünftige Begründung?
Wir brauchen nun also lediglich die Breite des Mößbauerpeaks bei
$\unit{14{,}4}{\kilo\electronvolt}$. Dabei ist zu beachten, dass die
Halbwertsbreite im Geschwindigkeitsspektrum der doppelten Breite im
Energiespektrum entspricht, da die Transmissionskurve im wesentlichen durch
den Überlapp zweier (sehr scharfer) Peaks im Energiespektrum entsteht.

\subsection{Bestimmung des Magnetfelds, des magnetischen Moments und des Feldgradienten}

Diese drei Größen können durch die Hyperfeinstrukturaufspaltung gewonnen werden.
Wie in Abschnitt \ref{sec:hyperfine} erläutert erhalten wir durch die
Hyperfeinaufspaltung sechs verschiedene Peaks die jeweils noch einmal wegen
der Quadrupolaufspaltung doppelt aufgespalten sind.

Die Peaks der Hyperfeinaufspaltung sind dabei wieder in der Mitte der doppelt
aufgespalteten Gradienten-Peaks anzunehmen. Sie liefern 3 isomeriekorrigierte
Geschwindigkeiten, die eine der vier Bedingungen in Gleichung
\ref{eq:hyperfine_cases} erfüllen. Daraus ergeben sich das magnetische Moment
des angeregten Zustands $\mu_a$ und das innere Magnetfeld $B$ von Eisen.

Der Feldgradient ergibt sich nach Gleichung $\ref{eq:quadrupol}$ aus dem
Abstand der doppelt aufgespaltenen Quadrupolpeaks. Das Quadrupolmoment $Q$ von
$^{57}\text{Fe}$ ist gegeben und es beträgt

\begin{equation}
Q = \unit{\left(0{,}21 \pm 0{,}01\right) \cdot 10^{-28}}{m^2}
\end{equation}

\end{document}
