\documentclass[11pt,a4paper]{scrartcl}

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\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\todo}[1]{\textcolor{red}{#1}}

\begin{titlepage}
\title{\textmd{Physikalisches Fortgeschrittenenpraktikum}\\\vspace{0.5cm}Mößbauereffekt\\[1cm] \textrm{\textit{\textmd{-- Auswertung --}}}\\[0.5cm]}
  \author{\LARGE{Armin Burgmeier} \and \LARGE{Robert Schittny}}
  \date{}
  \end{titlepage}

  \begin{document}

  \hyphenation{Hyper-fein-auf-spal-tung}
  \hyphenation{Ge-schwin-dig-kei-ten}
  \hyphenation{Ge-schwin-dig-keit}

  \maketitle

  \section{Kalibrierung des Spektrometers}
  In allen Messungen in diesem Versuch wird der Geschwindigkeitsbereich des M"o"sbauer\-an\-triebs wiederholt dreiecksförmig "`durchfahren"' und dabei die am Detektor ankommenden Ereignisse gezählt. Um die Messungen interpretieren zu können, müssen wir daher den Kanalnummern im Spektrum die entsprechenden Geschwindigkeiten zuweisen.

  Hierfür maßen wir im Kalibrierungsmodus die Anzahl der Lichtmaxima $N(K)$ des Michelson-Morley-Interferometers in Abhängigkeit von der Kanalnummer $K$. Wie in der Vorbereitung beschrieben erhalten wir die Geschwindigkeit $v$ über 
  \begin{equation}
    v(N(K)) = \frac{\lambda}{2}\cdot \frac{N(K)}{T} \ \text{,}
  \end{equation}
  wobei wir die Messdauer $T$ aus der verwendeten Frequenz $f$ und der Anzahl der Mess\-zyklen $Z$ erhalten:
  \begin{equation}
    T = \frac{Z}{f}
  \end{equation}
  Wir arbeiteten bei $f=\unit{100}{\kilo\hertz}$ und verwendeten zur Kalibrierung $N=16.695$ Mess\-zyklen bei einer Laserwellenlänge von $\lambda=\unit{632{,}8}{\nano\metre}$. Somit erhalten wir
  \begin{equation}
    v(N(K)) = \unit{316{,}4}{\nano\metre}\cdot \frac{\unit{100}{\kilo\hertz}}{16695}\cdot N(K) \ \text{.}
  \end{equation}
  Wir erhalten bei einer Messung zwei Kalibrierungen, da das dreiecksförmige Durchfahren der Geschwindigkeiten jede Geschwindigkeit zwei mal erreicht. An die Messwerte fitten wir jeweils eine Gerade der Form
\begin{equation}
  v(K) = m\cdot K + c \ \text{,}    
\end{equation}
welche wir mittels linearer Regression durch GnuPlot erhalten. Wir erhalten folgendes Bild:
  \begin{figure}[H]
    \centering
      \includegraphics{./kalibrierung.eps}
  \caption{Kalibrierung der Geschwindigkeit $v$ des Mößbauerantriebs}
\end{figure}
Aus der linearen Regression erhalten wir für den linken Teil
\begin{eqnarray}
  m_1 &=&  (-4{,}951\cdot 10^{-5} \pm 3{,}232\cdot 10^{-8})\metre\per\second = -4{,}951\cdot 10^{-5}\metre\per\second \pm 0{{,}}065\%\\
  c_1 &=&  (0{,}0127 \pm 9{,}59\cdot10^{-6})\metre\per\second = \unit{0{,}0127}{\metre\per\second}\pm 0{,}075\%
\end{eqnarray}
sowie für den rechten Teil
\begin{eqnarray}
  m_2 &=&  (4{,}969\cdot 10^{-5} \pm 2{,}845\cdot 10^{-8})\metre\per\second = 4{,}969\cdot 10^{-5}\metre\per\second \pm 0{{,}}057\%\\
  c_2 &=&  (-0{,}0382 \pm 2{,}012\cdot10^{-5})\metre\per\second = \unit{-0{,}0382}{\metre\per\second}\pm 0{,}053\% \ \text{.}
\end{eqnarray}
Es fällt auf, dass die Steigungen links und rechts betragsmäßig nicht genau gleich sind, dass also der Mößbauerantrieb nicht ganz gleichmäßig arbeitet.
\paragraph{Redundanz der Messungen}Wie schon angesprochen erhalten wir aufgrund der Messweise bei jeder Messung jeden Geschwindigkeitswert zwei mal und somit auch jedes später aufgenommene Spektrum zwei mal. Wir behandeln diese jeweils als separate Messung, wobei wir von nun an die im Spektrum links liegende Messung \emph{erste} und die im Spektrum rechts liegende Messung \emph{zweite} nennen werden. Entsprechend werden wir auch alle zugehörigen Größen mit 1 oder 2 indizieren.
\paragraph{Statistischer Fehler der Geschwindigkeit}Den statistischen Fehler $\sigma_v^{stat}$ der Geschwindigkeit erhalten wir durch Fehlerfortpflanzung aus den statistischen Fehlern von $m$ und $c$:
\begin{equation}
  \sigma_{v_i}^{stat}(K) = \sqrt{K^2\cdot \sigma_{m_i}^{stat^2} + \sigma_{c_i}^{stat^2}}
\end{equation}
Der Index $i$ kennzeichnet die erste oder zweite Messung.

Dieser statistische Fehler wird im folgenden bei der Auswertung der Spektren zum \emph{systematischen Fehler}, der als Unsicherheit in jede Geschwindigkeit eingeht.\\

Wir werden im folgenden eine Größe $\chi$ und ihre Fehler im allgemeinen wie folgt angeben:
\begin{equation}
  \chi = (\bar{\chi} \pm \sigma_{\chi}^{stat} \pm \sigma_{\chi}^{sys})\ \text{[Einheit]}
\end{equation}

\section{Lebensdauerbestimmung des \unit{14{,}4}{\kilo\electronvolt}-Zustands mit Vacromium}
Wir nahmen nun das Spektrum eines Vacromium-Absorbers auf, um die Lebensdauer des \unit{14{,}4}{\kilo\electronvolt}-Zustands zu bestimmen. Wir erhielten folgendes Spektrum:
\begin{figure}[H]
  \centering
    \includegraphics{./vacromium_all.eps}
  \caption{Spektrum des Vacromium-Absorbers}
\end{figure}
Deutlich sind die beiden Mößbauerpeaks der \unit{14{,}4}{\kilo\electronvolt}-Linie zu sehen. Der Abfall des Spektrums rechts soll uns nicht weiter interessieren.

Für die Lebensdauer wichtig ist hier nur die Breite der Peaks. Diese entspricht gerade der doppelten Halbwertsbreite im Energiespektrum. (Durch das "`Abrastern"' des Mößbauerpeaks mit der Absorberlinie verdoppelt sich die Breite aus dem Energiespektrum im Geschwindigkeitsspektrum)
\paragraph{Gestalt der Peaks}Die Form der gemessenen Mößbauerpeaks ist streng genommen eine Faltung aus einer Breit-Wigner-Verteilung und einer Gauß-Verteilung. Um die Lebensdauer korrekt zu berechnen, müssten wir also eine solche Faltung an die Peaks fitten, den Breit-Wigner-Anteil daraus extrahieren und dessen Breite bestimmen. Da dies jedoch übermäßig aufwändig ist, beschränken wir uns hier auf eine Gauß-Verteilung und nehmen die Gefahr in Kauf, ungenauere Ergebnisse zu erhalten. Außerdem werden wir für die Fits den oberen verrauschten Teil des Spektrums abschneiden, da dieser eine Regression erheblich erschweren würde. Wir führen alle Fits mit GnuPlot durch, wodurch wir für die freien Parameter auch gleich die statistischen Fehler erhalten.

Wir fitten nun also eine Funktion der Form
\begin{equation}
\label{eq:gauss}
  f(K) = a\cdot \exp\left({-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{K-K_T}{\sigma}\right)^2}\right) + c
\end{equation}
an die beiden Peaks. Die Abweichung von der eigentlichen Gaußverteilung (Parameter $a$ und $c$) kommt durch die Verschiebung der Kurve in y-Richtung und die andere Normierung zustande. Wir erhalten folgende Bilder:
\begin{figure}[H]
  \centering
    \includegraphics{./vacromium_left.eps}
  \caption{Fit an den Mößbauerpeak aus Messung 1}
\end{figure}
GnuPlot liefert uns hier eine Breite von
\begin{equation}
  \sigma_{K_1} = 3,785 \pm 0,145 = 3,785 \pm 3,95\%
\end{equation}

Für die zweite Messung erhalten wir:
\begin{figure}[H]
  \centering
    \includegraphics{./vacromium_right.eps}
  \caption{Fit an den Mößbauerpeak aus Messung 2}
\end{figure}
Mit einer Breite von
\begin{equation}
  \sigma_{K_2} = 4{,}086\pm 0{,}233 = 4{,}086 \pm 5{,}69\% \ \text{.}
\end{equation}
\paragraph{Lebensdauerbestimmung}
Die Lebensdauer $\tau$ des \unit{14{,}4}{\kilo\electronvolt}-Zustands von Vacromium erhalten wir über
\begin{equation}
  \tau = \frac{\hbar}{\Gamma} \ \text{,}
\end{equation}
wobei $\Gamma$ die Halbwertsbreite des Zustands ist, die ja wie schon gesagt der halben Halbwertsbreite $\Delta K$ des Mößbauerpeaks entspricht. Diese erhalten wir aus der Breite $\sigma_K$ der Gaußkurve über
\begin{equation}
  \Delta K = 2\sqrt{2\ln{2}}\cdot \sigma_K \ \text{:}
\end{equation}
\begin{equation}
  \Delta K_1 \approx 8{,}92 \qquad \Delta K_2 \approx 9{,}62
\end{equation}
Dies stimmt augenscheinlich gut mit der aus den Plots ersichtlichen Halbwertsbreiten überein. Umgerechnet ins Energiespektrum erhalten wir schließlich:
\begin{equation}
  \tau = \frac{\hbar}{1/2\cdot m(2 \sqrt{2\ln{2}}\cdot \sigma_K)\cdot E_0/c}
\end{equation}
$E_0$ ist dabei die Energie des betrachteten Zustands (also \unit{14{,}4}{\kilo\electronvolt}), $c$ die Lichtgeschwindigkeit. Wir erhalten mit obigen Werten für $\sigma_K$ folgende Lebensdauern:
\begin{eqnarray}
  \tau_1 &=&  \unit{62{,}15}{\nano\second}\\
  \tau_2 &=&  \unit{57{,}36}{\nano\second}
\end{eqnarray}
\paragraph{Systematischer Fehler der Lebensdauer}
Der einzige Beitrag zum systematischen Fehler von $\tau$ kommt von der Steigung $m$ aus der Kalibrierung. Hätten wir zur Bestimmung der Halbwertsbreite des Mößbauerpeaks nicht die Breite der Gaußkurve genutzt, sondern direkt die Differenz der Geschwindigkeiten auf halber Höhe, so hätten wir diese erst entkorrellieren müssen, da deren systematische Fehler den gleichen Ursprung (nämlich die Kalibrierung) haben. In unserem Falle genügt es, $\sigma_m^{sys}$ fortzupflanzen über
\begin{equation}
  \sigma_\tau^{sys} = \left|\frac{\partial \tau}{\partial m}\right| \cdot \sigma_{m} \ \text{.}
\end{equation}

\paragraph{Statistischer Fehler der Lebensdauer}
Den statistischen Fehler der Lebensdauer erhalten wir aus dem statistischen Fehler von $\sigma_K$, welcher uns direkt aus dem Gauß-Fit geliefert wird:
\begin{equation}
  \sigma_\tau^{stat} = \left|\frac{\partial \tau}{\partial\sigma_K}\right| \cdot \sigma_{\sigma_K}^{stat} \ \text{.}
\end{equation}

\paragraph{Ergebnis} Wir erhalten somit zwei Werte für die Lebensdauer $\tau$, deren Mittelwert wir noch ausrechnen. Den Gesamtfehler erhalten wir dann aus der Fehlerfortpflanzung der einzelnen Fehler von $\tau_1$ und $\tau_2$. Wir erhalten schlussendlich
\begin{eqnarray}
  \tau_1 &=&  (62{,}153 \pm 2{,}455 \pm 0{,}041)\,\nano\second = \unit{62{,}153}{\nano\second} \pm 3{,}95\% \pm 0{,}065\%\\
  \tau_2 &=&  (57{,}364 \pm 3{,}624 \pm 0{,}033)\,\nano\second = \unit{57{,}364}{\nano\second} \pm 5{,}69\% \pm 0{,}057\%
\end{eqnarray}
und hieraus
\begin{equation}
  \tau =  (59{,}759 \pm 2{,}042 \pm 0{,}026)\,\nano\second = \unit{59{,}759}{\nano\second} \pm 3{,}42\% \pm 0{,}044\%\ \text{.}
\end{equation}
Bei einer angegebenen natürlichen Linienbreite von $\Gamma=\unit{5}{\nano\electronvolt}$ hätten wir eine Lebensdauer von $\tau \approx \unit{131}{\nano\second}$ erwartet. Unser berechneter Wert liegt also deutlich darunter. Wir vermuten, dass dies an der fehlerhaften Annahme von gaußförmigen Peaks im Spektrum liegt, verzichten aber ob des schon genannten mathematischen Mehraufwands auf eine bessere Beschreibung.

\section{Inneres Magnetfeld und magnetisches Moment von Eisen}

Wir haben nun die Eisenprobe untersucht. Nach einer Messzeit von etwa
$\unit{25}{Minuten}$ erhielten wir folgendes Spektrum:

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics{eisen_total.eps}
\caption{Transmissionsspektrum von Eisen}
\end{figure}

Die Hyperfeinstrukturaufspaltung in sechs unterschiedliche Peaks ist sowohl bei
der ersten als auch bei der zweiten Messung klar zu erkennen. Zur Bestimmung
der Position der Peaks haben wir an jeden eine Gaußkurve in Form von Gleichung
\ref{eq:gauss} angefittet. Nach geeigneter Wahl von Startwerten für die
vier freien Parameter konnte gnuplot die Fits ohne Probleme durchführen; sie
sind im Anhang aufgeführt.

Aus den Fits ergeben sich direkt die Positionen der Peaks, und aus der
Kalibration die zugehörigen Geschwindigkeiten der Quelle. Wir erhalten die
folgenden Werte, wobei sich der statistische Fehler der Geschwindigkeiten aus
dem statistischen Fehler von der Position der Peaks ergibt und der
systematische Fehler aus dem statistischen Fehler der Kalibrierung.

\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
     & \multicolumn{2}{c|}{Messung 1} & \multicolumn{2}{c}{Messung 2} \\
Peak & Position & Geschwindigkeit [$\frac{\milli\metre}{\second}$] & Position & Geschwindigkeit [$\frac{\milli\metre}{\second}$]  \\
\hline
1    & $151{,}52 \pm 0{,}28$ & $ 5{,}198 \pm 0{,}014 \pm 0{,}011$ & $874{,}87 \pm 0{,}20$ & $ 5{,}272 \pm 0{,}010 \pm 0{,}032$ \\
2    & $197{,}62 \pm 0{,}18$ & $ 2{,}916 \pm 0{,}009 \pm 0{,}012$ & $828{,}95 \pm 0{,}34$ & $ 2{,}991 \pm 0{,}017 \pm 0{,}031$ \\
3    & $243{,}96 \pm 0{,}42$ & $ 0{,}622 \pm 0{,}021 \pm 0{,}013$ & $783{,}40 \pm 0{,}41$ & $ 0{,}727 \pm 0{,}021 \pm 0{,}030$ \\
4    & $278{,}20 \pm 0{,}43$ & $-1{,}074 \pm 0{,}022 \pm 0{,}014$ & $748{,}42 \pm 0{,}35$ & $-1{,}011 \pm 0{,}018 \pm 0{,}030$ \\
5    & $322{,}84 \pm 0{,}27$ & $-3{,}284 \pm 0{,}014 \pm 0{,}015$ & $704{,}32 \pm 0{,}38$ & $-3{,}202 \pm 0{,}019 \pm 0{,}029$ \\
6    & $368{,}36 \pm 0{,}17$ & $-5{,}538 \pm 0{,}009 \pm 0{,}016$ & $659{,}16 \pm 0{,}21$ & $-5{,}446 \pm 0{,}011 \pm 0{,}028$
\end{tabular}
\caption{Geschwindigkeiten des hyperfeinaufgespalteten Mößbauerpeaks bei Eisen}
\end{table}

Wir stellen fest, dass die erste und die sechste, die zweite und die fünfte und
die dritte und die vierte Geschwindigkeit ohne Isomerieverschiebung
symmetrisch zueinander liegen. Aus dieser Beobachtung lassen sich aus den
jeweiligen Geschwindigkeitspaaren $\left(v_i, v_j\right)$ mit

\begin{equation}
v_{ij} = \frac{v_i - v_j}{2} = \frac{m \left(k_i - k_j\right)}{2}
\end{equation}
leicht die isomeriekorrigierten Geschwindigkeiten berechnen. Für die
Fehlerrechnung ist die Entkorrelation an dieser Stelle wichtig, man sieht dass
$c$ gar nicht mehr in der Endformel auftaucht und dessen Fehler daher auch
keine Rolle spielt. Der statistische Fehler ergibt sich wieder aus dem von
$k$, und der systematische aus dem von $m$ aus der Kalibrierung. Dem Betrag
nach geordnet erhalten wir drei Geschwindigkeiten (die anderen haben nur ein
umgekehrtes Vorzeichen):

\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{c|c|c}
Index & Geschwindigkeit Messung 1 [\milli\meter\per\second] & Geschwindigkeit Messung 2 [\milli\meter\per\second] \\
\hline
% TODO: Eine Stelle weniger?
$v_{1} = v_{16}$ & $5{,}3679 \pm 0{,}0082 \pm 0{,}0036$ & $5{,}3593 \pm 0{,}0073 \pm 0{,}0031$ \\
$v_{2} = v_{25}$ & $3{,}0999 \pm 0{,}0081 \pm 0{,}0021$ & $3{,}0964 \pm 0{,}0127 \pm 0{,}0018$ \\
$v_{3} = v_{34}$ & $0{,}8476 \pm 0{,}0149 \pm 0{,}0006$ & $0{,}8691 \pm 0{,}0134 \pm 0{,}0005$
\end{tabular}
\caption{Isomeriekorrigierte Geschwindigkeiten}
\end{table}

Zunächst gilt es, das Termschema des Übergangs vom angeregten Zustand von
Eisen zum Grundzustand zu bestimmen. In der Vorbereitung haben wir dieses
bereits auf vier mögliche Fälle eingeschränkt. Für beide Messungen gilt
$v_1 - 2v_2 + v_3 \approx 0$, womit wir uns im zweiten Fall befinden.

Mit den Definitionen

\begin{eqnarray}
\label{eq:magnetic_moment}
A &=& \frac{\mu_a B c}{I_a E_0} \\
G &=& \frac{\mu_g B c}{I_g E_0}
\end{eqnarray}
gelten daher nun

\begin{eqnarray}
A &=& v_1 - v_2 \\
G &=& -v_2 - v_3
\end{eqnarray}
$I_a = \frac{3}{2}$ ist dabei der Kernspin im angeregten Zustand und
$I_g = \frac{1}{2}$ der im Grundzustand.

\paragraph{Bestimmung des inneren Magnetfelds}

Aus der Beziehung für $G$ lässt sich nun das innere Magnetfeld $B$ des
Kerns bestimmen, da alle weitere Größen bekannt sind:

\begin{eqnarray}
B &=& \frac{G I_g E_0}{\mu_g c} \\
  &=& \left(-v_2 - v_3\right) \frac{I_g E_0}{\mu_g c} \\
  &=& -m \frac{\left(k_2 - k_5\right) + \left(k_3 - k_4\right)}{2} \frac{I_g E_0}{\mu_g c}
\end{eqnarray}
$\mu_g$ enthält einen (systematischen) Fehler von $0{,}0007 \mu_K$. Der gesamte
systematische Fehler ergibt sich daher aus Gaußscher Fehlerfortpflanzung des
Fehlers von $m$ und von $\mu_g$. Der statistische Fehler pflanzt sich von den
Fehlern der $k$-Werte fort.

Somit bestimmen wir das innere Magnetfeld von Eisen zu

\begin{eqnarray}
B_1 &=& \unit{\left(-33{,}31 \pm 0{,}15 \pm 0{,}26\right)}{\tesla} = \unit{-33{,}31}{\tesla} \pm 0{,}5\% \pm 0{,}8\% \\
B_2 &=& \unit{\left(-33{,}46 \pm 0{,}16 \pm 0{,}26\right)}{\tesla} = \unit{-33{,}46}{\tesla} \pm 0{,}5\% \pm 0{,}8\%
\end{eqnarray}
Der Mittelwert beträgt

\begin{equation}
B = \unit{\left(-33{,}39 \pm 0{,}11 \pm 0{,}19\right)}{\tesla} = \unit{-33{,}39}{\tesla} \pm 0{,}4\% \pm 0{,}6\%
\end{equation}

\paragraph{Magnetisches Moment des angeregten Zustands} Mit der Kenntnis des
Magnetfelds $B$ können wir nun aus der Beziehung \ref{eq:magnetic_moment}
auch das magnetische Moment des angeregten Zustands von Eisen bestimmen. Dazu
bringen wir den Ausdruck für $\mu_a$ zunächst wieder in eine entkorrelierte
Form:

\begin{eqnarray}
\mu_a &=& \frac{A}{B} \frac{I_a E_0}{c} \\
      &=& \frac{v_1 - v_2}{-v_2 - v_3} \frac{\mu_g c}{I_g E_0} \frac{I_a E_0}{c} \\
      &=& -\frac{ \left(k_1 - k_6\right) - \left(k_2 - k_5\right)}{\left(k_2 - k_5\right) + \left(k_3 - k_4\right)} \frac{I_a}{I_g} \mu_g
\end{eqnarray}

Da das Ergebnis weder von der Steigung $m$ noch von der Verschiebungskonstante
$c$ der Kalibrierung abhängt geht als systematischer Fehler einzig der von
$\mu_g$ ein. Der statistische Fehler ergibt sich durch gaußsche
Fehlerfortpflanzung der Fehler aller $k$-Werte.

\begin{eqnarray}
\mu_{a,1} &=& \left(-0{,}1565 \pm 0{,}0009 \pm 0{,}0013\right) \mu_K = -0{,}1565 \mu_K \pm 0{,}6\% \pm 0{,}8\% \\
\mu_{a,2} &=& \left(-0{,}1546 \pm 0{,}0009 \pm 0{,}0012\right) \mu_K = -0{,}1546 \mu_K \pm 0{,}6\% \pm 0{,}8\%
\end{eqnarray}
Der Mittelwert beträgt

\begin{equation}
\mu_{a} = \left(-0{,}1551 \pm 0{,}0006 \pm 0{,}0009\right) \mu_K = -0{,}1551 \mu_K \pm 0{,}4\% \pm 0{,}6\%
\end{equation}

\section{Elektrischer Feldgradient von Eisenverbindungen}
Zuletzt maßen wir das Spektrum eines Eisen(II)sulfat-Absorbers (\ce{FeSO_4}). Wir erhielten folgendes Bild:
\begin{figure}[H]
  \centering
    \includegraphics{./feso4_all.eps}
  \caption{Spektrum des \ce{FeSO_4}-Absorbers}
\end{figure}
Wir sehen links und rechts jeweils zwei Peaks, die durch die vom Feldgradienten des Kristallgitters hervorgerufene Quadrupolaufspaltung erzeugt werden. Da uns das Quadrupolmoment von \ce{^{57}Fe} gegeben ist, können wir über den Abstand $\Delta v$ der beiden Peaks den Feldgradienten des Kristallgitters von \ce{FeSO_4} berechnen:
\begin{equation}
  \frac{\partial^2 V}{\partial z^2} = \frac{2 E_0}{ec}\cdot \frac{\Delta v}{Q} \equiv F
\end{equation}
Hierzu benötigen wir die Positionen der einzelnen Peaks. Diese erhalten wir wie zuvor durch den Fit von Gaußkurven an die Messergebnisse. Wir erhalten aus Messung 1:
\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{minipage}[h]{7 cm}
    \includegraphics[width=7cm]{./feso4_ll.eps} 
  \end{minipage}
  \begin{minipage}[h]{7 cm}
    \includegraphics[width=7cm]{./feso4_lr.eps} 
  \end{minipage}
  \caption{Mößbauerpeaks von \ce{FeSO_4} -- Messung 1}
\end{figure}
Der Fit liefert uns folgende Lagen der Peaks:
\begin{eqnarray}
  K_{1_1} &=& 207{,}66 \pm 0{,}27 = 207{,}66 \pm 0{,}132\% \\
  K_{1_2} &=& 262{,}67 \pm 0{,}18 = 262{,}67 \pm 0{,}069\%
\end{eqnarray}
Sowie aus Messung 2:
\begin{figure}[H]
  \centering
  \begin{minipage}[h]{7 cm}
    \includegraphics[width=7cm]{./feso4_rl.eps} 
  \end{minipage}
  \begin{minipage}[h]{7 cm}
    \includegraphics[width=7cm]{./feso4_rr.eps} 
  \end{minipage}
  \caption{Mößbauerpeaks von \ce{FeSO_4} -- Messung 2}
\end{figure}
Hier liefert der Fit folgende Werte:
\begin{eqnarray}
  K_{2_1} &=& 763{,}83 \pm 0{,}22 = 763{,}83 \pm 0{,}029\% \\
  K_{2_2} &=& 819{,}49 \pm 0{,}20 = 819{,}49 \pm 0{,}025\%
\end{eqnarray}
In diesem Fall dürfte die Wahl einer Gaußkurve keinen negativen Einfluss auf die Rich\-tig\-keit des Ergebnisses haben, da wir ja nur die Position des Peaks und nicht dessen Breite benötigen.

Aus den erhaltenen Kanalnummern berechnen wir nun den gesuchten Feldgradienten:
\begin{equation}
  F_i = \frac{2 E_0}{ec}\cdot \frac{m_i\cdot\left(K_{i_2}-K_{i_1}\right)}{Q}
\end{equation}
\paragraph{Statistischer Fehler des Feldgradienten}Den statistischen Fehler erhalten wir mittels Fehlerfortpflanzung aus den statistischen Fehlern von $K_{i_1}$ und $K_{i_2}$:
\begin{equation}
  \sigma_{F_i}^{stat} = \frac{2E_0}{ec}\cdot \frac{m_i}{Q}\cdot \sqrt{\sigma_{K_{i_1}}^2 + \sigma_{K_{i_2}}^2}
\end{equation}
\paragraph{Systematischer Fehler}
In den systematischen Fehler fließen der Fehler von $m$ sowie der angegebene Fehler von $Q$ ein:
\begin{equation}
  \sigma_{F_i}^{sys} = \frac{2E_0}{ec}\cdot \sqrt{\left(\frac{K_2-K_1}{Q}\right)^2\sigma_{m_i}^2 + \left(\frac{m(K_2-K_1)}{Q^2}\right)^2\sigma_Q^2}
\end{equation}

\paragraph{Ergebnis}
Wir erhalten mit einem Quadrupolmoment von $Q=(0{,}21 \pm 0{,}01)\cdot 10^{-28}\square\metre$:
\begin{eqnarray}
  F_1 = (1{,}2450 \pm 0{,}0024 \pm 0{,}0593)\cdot 10^{22}\volt\per\square\metre = \unit{1{,}245\cdot 10^{22}}{\volt\per\square\metre}\pm 0{,}196\% \pm 4{,}76\% \\
  F_2 = (1{,}2644 \pm 0{,}0027 \pm 0{,}0602)\cdot 10^{22}\volt\per\square\metre = \unit{1{,}2644\cdot 10^{22}}{\volt\per\square\metre}\pm 0{,}21\% \pm 4{,}76\%
\end{eqnarray}
Auch hier erhalten wir durch Mittelwertbildung unser Endergebnis, die Fehler erhalten wir wiederum durch Fehlerfortpflanzung:
\begin{equation}
  F = (1{,}2547 \pm 0{,}0018 \pm 0{,}0423)\cdot 10^{22}\volt\per\square\metre = \unit{1{,}2547\cdot 10^{22}}{\volt\per\square\metre}\pm 0{,}144\% \pm 3{,}37\%
\end{equation}

\begin{appendix}

\section{Fits der einzelnen Peaks der Hyperfeinstruktur von Eisen}

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics{eisen_1.eps}
\includegraphics{eisen_2.eps}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics{eisen_3.eps}
\includegraphics{eisen_4.eps}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics{eisen_5.eps}
\includegraphics{eisen_6.eps}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics{eisen_7.eps}
\includegraphics{eisen_8.eps}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics{eisen_9.eps}
\includegraphics{eisen_10.eps}
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\begin{figure}[H]
\centering
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