\documentclass[11pt,a4paper]{scrartcl}

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\pagestyle{headings}

\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\todo}[1]{\textcolor{red}{#1}}

\begin{titlepage}
\title{\textmd{Physikalisches Fortgeschrittenenpraktikum}\\\vspace{0.5cm}Gammaspektroskopie\\[1cm] \textrm{\textit{\textmd{-- Auswertung --}}}\\[0.5cm]}
  \author{\LARGE{Armin Burgmeier} \and \LARGE{Robert Schittny}}
  \date{}
  \end{titlepage}

  \begin{document}

  \maketitle

  \section{Energiekalibrierung der Detektoren}
  Zur Energiekalibrierung nahmen wir zunächst die Spektren von \ce{^{22}Na}, \ce{^{57}Co} und \ce{^{137}Cs} mit beiden Detektoren auf, die recht markante und damit leicht zu findende Photolinien aufweisen, deren Energien wir bereits kennen und daher als Referenzwerte verwenden können. Die Spektren sind im Anhang \ref{spektren} zu finden.

  Wir fitteten jeweils eine Gaußkurve mit Hilfe von ROOT an die Photopeaks, um deren Position zu bestimmen. Dabei erhielten wir folgende Werte:
  \begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{c|c|c|c}
      & $E$ [\kilo\electronvolt] & Kanal (NaJ-D.) & Kanal (Ge-D.) \\
      \hline
      \ce{^{22}Na}  &	511	&   431{,}68    &   476{,}19    \\
      \ce{^{22}Na}  &	1275	&   1070{,}01	&   1169{,}64	\\
      \ce{^{57}Co}  &	122	&   95{,}33	&   118{,}25	\\
      \ce{^{137}Cs} &	662	&   603{,}43    &   598{,}6	\\
    \end{tabular}
    \caption{Energiekalibrierung der verw. Detektoren}
  \end{table}

  Wir können nun die Kanal-Energie-Abhängigkeit der beiden Detektoren mit Hilfe einer linearen Regression erhalten:
  \begin{figure}[H]
    \centering
      \includegraphics{./energiekal.eps}
    \caption{Energiekalibrierung}
  \end{figure}
  Wir erhalten für den NaJ-Detektor
  \begin{equation}
    E_{NaJ}(K) = (1{,}171 \pm 0{,}0226)\cdot K\ \kilo\electronvolt
  \end{equation}
  sowie für den Ge-Detektor
  \begin{equation}
    E_{Ge}(K) = (1{,}091 \pm 0{,}0059)\cdot K\ \kilo\electronvolt \ \text{.}
  \end{equation}
  Die geringen Fehler in der Regression zeigen uns, dass die Detektoren im betrachteten Energiebereich gut linear arbeiten.

  \section{Energieauflösung der beiden Detektoren}
  Wir wollen nun die Energieauflösung der beiden Detektoren vergleichen. Für die Energieauflösung gilt
  \begin{equation}
    \Delta E \propto \sqrt{E} \ \text{.}
  \end{equation}
  Um dies zu überprüfen, vermessen wir die Breiten der Photolinien in den zuvor aufgenommenen Spektren, die ein direktes Maß für die Energieauflösung sind. Tragen wir diese über $\sqrt{E}$ auf, so sollten wir eine Gerade erhalten. Je geringer die Geradensteigung dabei ist, desto höher ist die Energieauflösung des Detektors.

  Wir erhalten folgende Breiten der Photolinien aus unseren Spektren:
  \begin{table}[H]
    \centering
    \begin{tabular}{c|c|c|c}
      & $E$ [\kilo\electronvolt] & Breite NaJ [\kilo\electronvolt] & Breite Ge [\kilo\electronvolt] \\
      \hline
      \ce{^{22}Na}  &	511	&   38{,}5  &	2{,}92	\\
      \ce{^{22}Na}  &	1275	&   74{,}67 &	4{,}77	\\
      \ce{^{57}Co}  &	122	&   14{,}45 &	1{,}48	\\
      \ce{^{137}Cs} &	662	&   36{,}34 &	2{,}18	\\
    \end{tabular}
    \caption{Breiten der einzelnen Photolininen für beide Detektoren}
  \end{table}
  Hieraus erhalten wir folgendes Bild:
  \begin{figure}[H]
    \centering
      \includegraphics{./energieaufl.eps}
    \caption{Energieauflösung der verwendeten Detektoren}
  \end{figure}
  Für beide Detektoren ergibt sich mit guter Näherung eine Gerade, einzig die Werte des \ce{^{137}Cs}-Spektrums fallen etwas aus der Reihe. Wir können also davon ausgehen, dass die Energieunschärfe tatsächlich proportional zur Wurzel der Energie ist.

  Außerdem ist gut erkennbar, dass der Ge-Detektor eine deutlich höhere Energieauflösung als der NaJ-Detektor hat. Dies wird qualitativ auch schon aus den aufgenommenen Spektren deutlich, die beim Ge-Detektor deutlich schärfer sind als beim NaJ-Detektor.

\section{$\mathrm{^{60}Co}$-Spektrum}

Wir haben nun das Spektrum von \ce{^{60}Co} mit beiden Detektoren untersucht.
Insbesondere wollen wir dabei Koinzidenzen untersuchen, daher haben wir auch
die zeitlichen Abstände zwischen den einzelnen Ereignissen aufgenommen: Jedes
aufgenommene Ereignis besteht aus drei Größen: Der Energie in einem der beiden
Detektoren, dem Zeitabstand nach dem im anderen Detektor ein Ereignis
wahrgenommen wurde (oder 0 wenn nach genügend großer Zeit dort kein Ereignis
aufgetreten ist) und der Energie dieses zweiten Ereignisses, wenn es vorhanden
ist.

Zunächst untersuchen wir die beiden Spektren, die die Detektoren aufgenommen
haben einzeln. Wir stellen fest, dass es zwei Photopeaks gibt, was darauf
hindeutet, dass \ce{^{60}Co} in zwei Schritten zerfällt. Weiterhin sehen wir
wie bei diesen Spektren typisch eine Comptonkante und einen Rückstreupeak.
Den Photo-Peak bei kleinerer Energie werden wir im folgenden als 1. Peak
bezeichnen und den bei größerer Energie als 2. Peak.
%Letzterer ist besonders ausgeprägt, weil in einem Detektor gestreute
%Gamma-Quanten möglicherweise im anderen Detektor zu sehen sind.

\begin{figure}[H]
  \centering
    \includegraphics[width=11cm]{./naj_co60.eps}
  \caption{\ce{^{60}Co}-Spektrum des \ce{NaJ}-Detektors}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
  \centering
    \includegraphics[width=11cm]{./ge_co60.eps}
  \caption{\ce{^{60}Co}-Spektrum des \ce{Ge}-Detektors}
\end{figure}

Die Energien der Peaks haben wir wieder bestimmt indem wir mit ROOT eine
Gauß\-kurve angefittet haben. Mit Hilfe der Kalibrierung können wir diese in
Energien umrechnen. Der Fehler der Kalibrierung geht als systematischer
Fehler in die Energie ein, da er für alle Umrechnungen gleich ist. Damit
erhalten wir folgende Energien der beiden Übergänge für den jeweiligen
Detektor:

% TODO: Statistischer Fehler vernachlässigen?

\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{c|c|c|c}
Detektor & Peak & Kanal                  & Energie [\kilo\electronvolt] \\
\hline
\ce{NaJ} & 1    & $1080{,}00 \pm 0{,}44$ & $1264{,}68 \pm 0{,}52 \pm 24{,}41$ \\
\ce{NaJ} & 2    & $1226{,}98 \pm 0{,}51$ & $1436{,}79 \pm 0{,}60 \pm 27{,}73$ \\
\ce{Ge}  & 1    & $1054{,}82 \pm 0{,}04$ & $1150{,}81 \pm 0{,}04 \pm 6{,}79$ \\
\ce{Ge}  & 2    & $1196{,}78 \pm 0{,}04$ & $1305{,}69 \pm 0{,}05 \pm 7{,}07$
\end{tabular}
\caption{Energien der Photopeaks von \ce{^{60}Co}}
\end{table}

% TODO: Hilfe, was ist hier los?

Dieses Ergebnis ist höchst merkwürdig, da es nicht in sich konsistent ist.
Eigentlich sollten beide Detektoren die Peaks natürlich bei den gleichen
Energien messen. Bereits bei der Betrachtung der Spektren fällt auf, dass
die Peaks beim \ce{Ge}-Detektor bei kleineren Kanalindizes liegen als beim
\ce{NaJ}-Detektor. Bei den Spektren der Kalibrierung (siehe Anhang) war dies
jedoch genau umgekehrt. Wir vermuten dass aus einem uns nicht näher bekannten
Grund die Einstellungen zwischen der Kalibrierung und der
\ce{^{60}Co}-Messung an mindestens einem der beiden Detektoren verändert
wurden.

%ADC1, 1 Peakt:     1090
%   2  Mean         1.08000e+03   4.36529e-01  -2.38758e-04   1.35744e-04
%   3  Sigma        7.26842e+01   6.55781e-01  -3.02723e-06   6.66566e-02

%ADC1, 2. Peak:
%   2  Mean         1.22698e+03   5.00193e-01   2.96461e-05  -6.03857e-06
%   3  Sigma        5.54502e+01   8.57583e-01   8.94847e-08   8.58176e-05

%ADC2, 1. Peak:
%   2  Mean         1.05482e+03   3.14264e-02   1.79696e-05   7.83501e-05
%   3  Sigma        1.88112e+00   3.18080e-02  -5.39134e-07  -6.12071e-02

%ADC3, 2. Peak:
%   2  Mean         1.19678e+03   3.94909e-02   1.66092e-05   4.54693e-04
%   3  Sigma        1.59049e+00   2.05297e-02  -3.78573e-08   1.03020e-01

\paragraph{Koinzidenzspektroskopie}

Im weiteren interessieren wir uns für Koinzidenzen bei den Ereignissen um auf
das Termschema vom \ce{^{60}Co}-Zerfall schließen zu können. Sollten die
Ereignisse die jeweils im Bereich der Photopeaks liegen unabhängig voneinander
sein, so gibt es vermutlich auch zwei verschiedene Zerfallskanäle. Sind sie
allerdings so korreliert, dass auf ein Ereignis im ersten Peak unmittelbar
eines im zweiten Peak folgt, so können wir davon ausgehen, dass eine
Zerfallskaskade vorliegt.

\begin{figure}[H]
  \label{fig:scatter}
  \centering
  \includegraphics[width=11cm]{scatter1.eps}
  \caption{Scatter-Plot der Ereignisse an beiden Detektoren}
\end{figure}
In Abbildung \ref{fig:scatter} entspricht einem Punkt zwei zeitlich nah
aufeinander folgenden Er\-eig\-nis\-sen in den beiden Detektoren. Auf der X-Achse
ist der \ce{Ge}-Detektor aufgetragen, und auf der Y-Achse der \ce{NaJ}-Detektor.
Um eine quantitative Aussage machen zu können haben wir nun die Anzahl der
Ereignisse im Bereich der Peaks untersucht:

% TODO: Bereiche angeben!

\begin{table}[H]
  \centering
  \begin{tabular}{c|c|c}
    Peak \ce{Ge}-Detektor ($i$) & Peak \ce{NaJ}-Detektor ($j$) & Anzahl Ereignisse ($N_{i,j})$ \\
    \hline
    1 & 1 & 718 \\
    1 & 2 & 524 \\
    2 & 1 & 539 \\
    2 & 2 & 354
  \end{tabular}
  \caption{Anzahl der Ereignisse im Bereich der Peaks}
\end{table}
Die Gesamtzahl der Ereignisse im Bereich der Peaks beträgt somit
$N_{tot} = 2135$. Die Bereiche wurden dabei so gewählt, dass beim
\ce{Ge}-Detektor die Ereignisse in den Kanälen zwischen $1045$ und $1060$ für
den ersten bzw. $1185$ und $1200$ für den zweiten Peak gezählt wurden, und
beim \ce{NaJ}-Detektor die Ereignisse zwischen $1010$ und $1160$ für den ersten
und $1180$ und $1330$ für den zweiten Peak.

Weiter stellen wir nun verschiedene Hypothesen auf, die wir
im Anschluss mit dem $\chi^2$-Test untersuchen und somit die wahrscheinlichste
dieser Hypothesen ermitteln.

\begin{itemize}
\item {Hypothese $H_1$: Die Ereignisse sind unkorreliert. Wir erwarten die gleiche Anzahl Ereignisse in allen Fällen:}
  \begin{equation}
  N_{EW,i,j} = \frac{N_{tot}}{4}
  \end{equation}
\item {Hypothese $H_2$: Die Ereignisse sind unkorreliert, aber wir berücksichtigen dass der zweite Peak kleiner ist als der erste und daher eine geringere Zählrate aufweist. Wir gehen spontan von einem Verhältin von 6:4 aus.}
  \begin{eqnarray}
  N_{EW,1,1}              &=& 0{,}6 \cdot 0{,}6 \cdot N_{tot} = 0{,}36 \cdot N_{tot} \\
  N_{EW,1,2} = N_{EW,2,1} &=& 0{,}6 \cdot 0{,}4 \cdot N_{tot} = 0{,}24 \cdot N_{tot} \\
  N_{EW,2,2}              &=& 0{,}4 \cdot 0{,}4 \cdot N_{tot} = 0{,}16 \cdot N_{tot}
  \end{eqnarray}
\item {Hypothese $H_3$: Die Ereignisse sind zeitlich korrelliert, so dass ein Zerfall der zum 2. Peak beiträgt nur auftritt wenn vorher ein zum 1. Peak beitragender Zerfall auftrat (oder anders herum). In diesem Fall erwarten wir nur Ereignisse wo ein Detektor ein Ereignis im 1. Peak und der andere eines im 2. Peak registriert hat:}
  \begin{eqnarray}
  N_{EW,1,1} = N_{EW,2,2} &=& 0 \\
  N_{EW,1,2} = N_{EW,2,1} &=& \frac{N_{tot}}{2}
  \end{eqnarray}
\end{itemize}

Zur Anwendung des $\chi^2$-Tests ist anzumerken, dass der Fehler in den
Zählraten $N$ mit $\sqrt{N}$ ansteigt, da die einzelnen Ereignisse poissonartig
verteilt sind. $\chi^2$ nimmt dann die folgende Form an:

\begin{equation}
\chi^2 = \sum_{i,j} \left(\frac{N_{i,j} - N_{EW,i,j}}{\sqrt{N_{i,j}}}\right)^2
\end{equation}
Für die oben formulierten Hypothesen ergeben sich damit folgende Werte:

\begin{table}[H]
  \centering
  \begin{tabular}{c|r}
  Hypothese & $\chi^2$ \\
  \hline
  $H_1$ & $138{,}4$ \\
  $H_2$ & $5{,}6$ \\
  $H_3$ & $2153{,}9$
  \end{tabular}
  \caption{$\chi^2$-Werte für die verschiedenen Hypothesen}
\end{table}
Aufgrund unserer Messergebnisse haben wir also allen Grund zur Annahme, dass
die Ereignisse nicht korreliert sind. Dies führt auf den Schluss, dass
\ce{^{60}Co} zwei voneinander unabhängige Zerfallskanäle hat von denen einer
leicht bevorzugt ist.

Dies entspricht allerdings nicht der Wirklichkeit. Eigentlich liegt eine
Kaskade vor, das heißt wir hätten eine Korrelation beobachten müssen.

Da die gemessenen Energien bereits nicht konsistent zur Kalibrierung sind
ist ein gesundes Misstrauen gegen unser Ergebnis der Koinzidenzuntersuchung
sicherlich angebracht. Ob es sich dabei an der Wurzel um den gleichen Fehler
handelt ist uns unklar, aber in beiden Fällen können wir ihn nicht näher
benennen oder behandeln, da uns seine Ursache nicht bekannt ist.

  \begin{appendix}
    \section{Spektren von \ce{^{22}Na}, \ce{^{57}Co} und \ce{^{137}Cs}}\label{spektren}
    \begin{figure}[H]
      \centering
	\includegraphics[width=11cm]{./na22_naj.eps}
      \caption{\ce{^{22}Na} mit NaJ-Detektor}
    \end{figure}
    \begin{figure}[H]
      \centering
	\includegraphics[width=11cm]{./na22_ge.eps}
      \caption{\ce{^{22}Na} mit Ge-Detektor}
    \end{figure}
    \begin{figure}[H]
      \centering
	\includegraphics[width=11cm]{./co57_naj.eps}
      \caption{\ce{^{57}Co} mit NaJ-Detektor}
    \end{figure}
    \begin{figure}[H]
      \centering
	\includegraphics[width=11cm]{./co57_ge.eps}
      \caption{\ce{^{57}Co} mit Ge-Detektor}
    \end{figure}
    \begin{figure}[H]
      \centering
	\includegraphics[width=11cm]{./cs137_naj.eps}
      \caption{\ce{^{137}Cs} mit NaJ-Detektor}
    \end{figure}
    \begin{figure}[H]
      \centering
	\includegraphics[width=11cm]{./cs137_ge.eps}
      \caption{\ce{^{137}Na} mit Ge-Detektor}
    \end{figure}
  \end{appendix}
\end{document}
