\documentclass[a4,paper]{article}

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\title{Protokoll zum Versuch $\frac{e}{m}$-Bestimmung}
\author{Kirstin Hübner \and Armin Burgmeier \and Gruppe 15}

\begin{document}
\maketitle

\section{$\frac{e}{m}$-Bestimmung mit dem Fadenstrahlrohr}
\subsection{Verifizieren der Homogenität}
\label{aufgabe11}

Um die Homogenität des Magnetfelds der Helmholtzspulen im Plexiglaskasten
überprüfen zu können haben wir mit einer Hallsonde an verschiedenen Stellen
innerhalb der Mittelebene zwischen den Spulen die magnetische Feldstärke
gemessen. Der Abstand zwischen den einzelnen Messpunkten betrug jeweils
$3cm$, wobei die Mittelachse durch die Punkte 9, 10, 4, 11 und 12 läuft.

\begin{figure}[ht]
\includegraphics[scale=0.5]{Hallverif.eps}
\caption{Messpunkte in der Helmholtzspule}
\end{figure}

In der folgenden Tabelle wurden Hallspannungen in Abhängigkeit vom Messpunkt
und dem angelegten Spulenstrom aufgetragen.

\begin{table}[ht]
\begin{tabular}{c|c|c|c}
Messpunkt & Spulenstrom $1,0 A$ & Spulenstrom $1,5 A$ & Spulenstrom $2,0 A$ \\
\hline
1  & $4,89 V$ & $4,86 V$ & $4,85 V$ \\
2  & $4,88 V$ & $4,85 V$ & $4,85 V$ \\
3  & $4,88 V$ & $4,85 V$ & $4,85 V$ \\
4  & $4,88 V$ & $4,85 V$ & $4,84 V$ \\
5  & $4,88 V$ & $4,85 V$ & $4,85 V$ \\
6  & $4,88 V$ & $4,85 V$ & $4,85 V$ \\
7  & $4,88 V$ & $4,85 V$ & $4,85 V$ \\
8  & $4,88 V$ & $4,85 V$ & $4,85 V$ \\
9  & $4,88 V$ & $4,85 V$ & $4,85 V$ \\
10 & $4,88 V$ & $4,85 V$ & $4,85 V$ \\
11 & $4,88 V$ & $4,85 V$ & $4,85 V$ \\
12 & $4,88 V$ & $4,85 V$ & $4,85 V$
\end{tabular}
\caption{Hallspannung an verschiedenen Orten in der Helmholtzspule}
\end{table}

Da die Hallspannung proportional zur magnetischen Feldstärke ist (wie in der
Vorbereitung dargelegt) ergibt sich aus diesen Werten, dass das von den
Spulen erzeugte Magnetfeld homogen ist. Die Spannungen nehmen mit zunehmendem
Spulenstrom ab. Leider können wir diese Fehlerquelle nicht eindeutig
bestimmen, da wir die bereits aufgebaute Apparatur übernommen haben und davon
ausgegangen sind, dass diese vorher als korrekt abgenommen wurde. Wegen einem
Offset in der Hallsonde sind die gemessenen Spannungen deutlich
höher als gewöhnlich von Hallspannungen erwartet.

\subsection{Eichen der Hallsonde}

Zum Eichen der Hallsonde haben wir das berechenbare Magnetfeld einer langen
Zylinderspule ausgenutzt. Dieses kann man über

\begin{equation}
B = \mu_0 \frac{N}{l} I_s
\end{equation}
ausrechnen wobei $\frac{N}{l}$ die Anzahl der Windungen pro Längeneinheit und
$I_s$ der durch die Spule fließende Strom ist.

Zu gewählten Spulenströmen haben wir die Hallspannung gemessen und daraus
die magnetische Feldstärke berechnet:

\begin{table}[ht]
\begin{tabular}{c|c|c}
$I_s$ [A] & $U_H$ [V] & $B$ [T] \\
\hline
$0,03$ & $4,87$ & $9,89 \cdot 10^{-5}$ \\
$0,05$ & $4,87$ & $1,64 \cdot 10^{-4}$ \\
$0,10$ & $4,88$ & $3,30 \cdot 10^{-4}$ \\
$0,15$ & $4,88$ & $4,95 \cdot 10^{-4}$ \\ 
$0,20$ & $4,89$ & $6,60 \cdot 10^{-4}$ \\
$0,25$ & $4,88$ & $8,25 \cdot 10^{-4}$ \\ 
$0,30$ & $4,88$ & $9,90 \cdot 10^{-4}$ \\
$0,40$ & $4,89$ & $1,32 \cdot 10^{-3}$ \\ 
$0,50$ & $4,92$ & $1,65 \cdot 10^{-3}$ \\
$0,60$ & $4,92$ & $1,98 \cdot 10^{-3}$
\end{tabular}
\caption{Gemessene Hallspannung für verschiedene Spulenströme}
\end{table}

Eine genauere Messung der Hallspannung war leider nicht möglich, da die dritte
Nachkommastelle auf dem digitalen Messgerät ständig variierte. Dies ist
wahrscheinlich auf die Erwärmung der Hallsonde bei längerem Gebrauch
zurückzuführen die ihre Empfindlichkeit beeinflusst.

Um die Eichgerade bestimmen zu können trugen wir das Magnetfeld $B$ auf
die Hallspannung $U_H$ auf. Feldstärken die bei gleicher Spannung auftraten
wurden dabei gemittelt.

\includegraphics[scale=0.91]{Eich.eps}

Die lineare Regression wurde mit gnuplot durchgeführt und ergibt für die
Eichgerade:

\begin{equation}
B = -0.15649 + 0,0321857 \cdot U_H
\end{equation}

\subsection{Vergleich von gemessenem und errechnetem Wert}

\begin{table}[ht]
\begin{tabular}{c|c|c}
Spulenstrom [A] & Berechnete Feldstärke [T] & Gemessene Feldstärke [T] \\
\hline
$1,0$ & $7,8 \cdot 10^{-4}$ & $ 6,0 \cdot 10^{-4}$ \\
$1,5$ & $1,2 \cdot 10^{-3}$ & $-3,6 \cdot 10^{-4}$ \\
$2,0$ & $1,6 \cdot 10^{-3}$ & $-4,2 \cdot 10^{-4}$
\end{tabular}
\caption{Gemessene und berechnete Feldstärken}
\end{table}

Aufgrund der wahrscheinlich fehlerhaften Messung in \ref{aufgabe11} machen die
gemessenen Feldstärken bei den Spulenströmen $1,5 A$ und $2,0 A$ keinen Sinn.
Die Abweichung zwischen dem gemessenen und berechneten Feld bei $1,0 A$
beträgt $-23,0\%$.

\subsection{Bestimmung von $\frac{e}{m}$}

Folgende Durchmesser der Elektronenkreisbahnen haben wir bei einem Spulenstrom
von $1,0 A$ bzw. $2,0 A$ bei verschiedenen Anodenspannungen gemessen:

\begin{table}[ht]
\begin{tabular}{c|c|c}
U [V] & Durchmesser bei $1,0 A$ [cm] & Durchmesser bei $2,0 A$ [cm] \\
\hline
$100$ & $7,3$ & $3,7$ \\
$125$ & $8,8$ & $4,3$ \\
$150$ & $9,7$ & $4,8$ \\
$175$ & $9,6$ & $5,4$ \\
$200$ & $11,3$ & $6,2$ \\
$225$ & $12,9$ & $6,4$ \\
$250$ & $13,8$ & $7,4$
\end{tabular}
\caption{Gemessene Durchmesser bei verschiedenen Beschleunigungsspannugen}
\end{table}

Wegen

\begin{displaymath}
\frac{e}{m} = \frac{2U}{B^2r^2} \Leftrightarrow
r^2 = \frac{m}{e} \frac{2}{B^2} U
\end{displaymath}
ist es sinnvoll $r^2$ über $U$ aufzutragen um über die Geradensteigung einen
Wert für $\frac{e}{m}$ zu erhalten.

\includegraphics[scale=0.91]{em1.eps}

Die Steigung der Geraden $g_1$ beträgt $a_1 = 2.22496 \cdot 10^{-5} \frac{m^2}{V}$.
Damit ergibt sich $\frac{e}{m}_1 = \frac{2}{B^2 a_1} = 1,48 \cdot 10^{11}
\frac{C}{kg}$. Die Steigung der Geraden $g_2$ ist $a_2 = 6.55536 \cdot 10^{-6}
\frac{m^2}{V}$. Dies führt zu $\frac{e}{m}_2 = 1,19 \cdot 10^{11} \frac{C}{kg}$.
Dabei verwendeten wir den berechneten Wert für $B$, da unsere gemessene Werte
wie oben beschrieben zumindest für $I = 2A$ nicht vertrauenswürdig erscheinen.

In der Folge haben wir die Beschleunigungsspannung festgehalten und den
Spulenstrom varriert. Dabei ergaben sich die folgenden Messwerte:

\begin{table}[ht]
\begin{tabular}{c|c|c}
I [A] & Durchmesser bei $125 V$ [cm] & Durchmesser bei $250 V$ \\
\hline
1,0 & 9,6 & 14,4 \\
1,2 & 8,4 & 11,9 \\
1,4 & 6,8 & 10,1 \\
1,6 & 5,9 & 9,3 \\
1,8 & 5,0 & 8,6 \\
2,0 & 4,6 & 7,45
\end{tabular}
\caption{Gemessene Durchmesser bei verschiedenen Spulenströmen}
\end{table}

Diesmal gilt

\begin{displaymath}
\frac{e}{m} = \frac{2U}{B^2r^2} \Leftrightarrow
\frac{1}{r} = \sqrt{\frac{e}{m}} \frac{k}{\sqrt{U}} I
\end{displaymath}

mit $B = 0,7155 \mu_0 n \frac{I}{R} = k \cdot I$ (siehe Versuchsbeschreibung),
wobei $R$ der Radius der Helmholtzspule ist.

\includegraphics[scale=0.91]{em2.eps}

Die Steigung der Geraden $g_3$ $a_3 = 23,7547 \frac{1}{m \cdot A}$, die von
$g_4$ $a_4 = 12,2621 \frac{1}{m \cdot A}$. Damit ergibt sich
$\frac{e}{m}_3 = \frac{a_3^2 2U}{k^2} = 2,32 \cdot 10^{11} \frac{C}{kg}$ bzw.
für $a_4$ $\frac{e}{m}_4 = 1,24 \cdot 10^{11} \frac{C}{kg}$.

Der Literaturwert beträgt $1,7588196 \cdot 10^{11} \frac{C}{kg}$ (Demtröder,
Experimentalphysik 2). Unsere Messergebnisse weisen folgende Abweichungen auf:

\begin{table}[ht]
\begin{tabular}{c|c}
Messwert & Abweichung \\
\hline
$\frac{e}{m}_1$ & $-16\%$ \\
$\frac{e}{m}_2$ & $-32\%$ \\
$\frac{e}{m}_3$ & $32\%$ \\
$\frac{e}{m}_4$ & $-29\%$
\end{tabular}
\caption{Abweichungen vom Literaturwert}
\end{table}

Zusammenfassend können wir alle gemessenen Werte über $\frac{\sqrt{U}}{I}$
auftragen:

\includegraphics[scale=0.91]{em3.eps}

Mit

\begin{displaymath}
\frac{e}{m} = \frac{2U}{B^2r^2} \Leftrightarrow r = \sqrt{\frac{m}{e}}
\frac{\sqrt{2}}{k} \frac{\sqrt{U}}{I}
\end{displaymath}

und der Geradensteigung $a_5 = 0.00429197 \frac{m \cdot A}{\sqrt{V}}$ finden
wir $\frac{e}{m} = \frac{2}{a_5^2k^2} = 1,79 \cdot 10^{11} \frac{C}{kg}$. Hier
beträgt die Abweichung vom Literaturwert $1,77\%.$

\section{$\frac{e}{m}$-Bestimmung nach der Methode von Busch}

Im vorliegenden Versuch haben wir zunächst die Schaltung nach
Schaltplan 2 der Aufgabenstellung zusammengesteckt. Den nach Einschalten der
Beschleunigungsspannung zu sehenden Strich haben wir auf die Größe des
Bildschirmes eingestellt. Nach dem Einschalten des Magnetfelds konnte man
beobachten, dass sich der Strich dreht und kleiner wird, bis man schließlich
nur noch einen Punkt erkennen kann. Erhöht man nun weiter die Magnetfeldstärke
beobachtet man, dass der Punkt wieder in einer Drehbewegung zu einem Strich
wird, den man durch stetiges Erhöhen der Magnetfeldstärke wiederum zu einem
Leuchtfleck werden lassen kann. Die Hintergründe dieser Beobachtungen haben
wir bereits in den Vorbereitungen erläutert.

Da das Magnetfeld nicht homogen ist mitteln wir $B$ wie in der Vorbereitung
beschrieben. Für die Abstände vom Spulenende $a$ verwenden wir dabei die
Werte $a_1 = 46mm$, $a2 = 90mm$, $a_3 = 134mm$. Diese ergeben sich daraus,
dass das Deflektorzentrum vom einen Spulenende genausoweit entfernt ist wie
der Schirm vom anderen, und der Abstand zwischen Deflektorzentrum und Schirm
$88mm$ beträgt.

\begin{equation}
B = \frac{\mu_0 n I}{2L} \cdot \frac{1}{3} \sum_{i=1}^3
(\frac{a_i}{\sqrt{R^2 + a_i^2}} + \frac{L - a_i}{\sqrt{R^2 + (L - a_i)^2}}) =
60,28 \cdot 10^{-3} \frac{T}{A} * I
\end{equation}
Die Konstante $k$ haben wir somit zu $k = 60,28 \cdot 10^{-3} \frac{T}{A}$
bestimmt.

Anschließend haben wir für verschiedene Beschleunigungsspannungen den
Spulenstrom gemessen, bei dem der auf dem Schirm erscheinende Strich zu einem
Punkt wird:

\begin{table}[ht]
\label{tab1}
\begin{tabular}{c|c}
Beschleunigungsspannug U [V] & Spulenstrom I [A] \\
\hline
$500$ & $8,4 \cdot 10^{-2}$ \\
$513$ & $8,4 \cdot 10^{-2}$ \\
$525$ & $8,6 \cdot 10^{-2}$ \\
$550$ & $8,8 \cdot 10^{-2}$ \\
$575$ & $9,2 \cdot 10^{-2}$ \\
$600$ & $9,4 \cdot 10^{-2}$ \\
$625$ & $9,6 \cdot 10^{-2}$ \\
$650$ & $9,7 \cdot 10^{-2}$ \\
$675$ & $9,8 \cdot 10^{-2}$ \\
$700$ & $1,0 \cdot 10^{-1}$
\end{tabular}
\caption{Gemessener Spulenstrom bei vorgegebener Anodenspannung}
\end{table}

Wie in der Vorbereitung beschrieben tragen wir $I^2$ über $U$ auf:

\includegraphics[scale=0.91]{Busch.eps}

Die Geradensteigung von $g_6$ beträgt $a_6 = 1.5476 \cdot 10^{-5}
\frac{A^2}{V}$. Mit

\begin{displaymath}
\frac{e}{m} = \frac{8\pi^2U}{k^2I^2l^2} \Leftrightarrow I^2 =
\frac{8\pi^2}{k^2l^2} \frac{m}{e} U
\end{displaymath}
folgt

\begin{displaymath}
a_6 = \frac{8\pi^2}{k^2l^2} \frac{m}{e} \Leftrightarrow \frac{e}{m} =
\frac{8\pi^2}{a_6k^2l^2}
\end{displaymath}

Mit den gemessenen Werten und dem Abstand zwischen Schirm und den
Ablenkplatten $l = 0,088m$ finden wir $\frac{e}{m} = 1.81 \frac{C}{kg}$.
Die Abweichung vom Literaturwert beträgt hier $2,91\%$.

\section{Fazit}

Die Methode von Busch scheint weniger fehleranfällig, da sich die Größen
genauer vom Messgerät ablesen lassen als bei der Methode mit der
Fadenstrahlröhre. Dass wir mit nur einer Messreihe einen relativ genauen Wert
ermittelt haben unterstützt diese Aussage. Es bleibt natürlich dennoch
eine gewisse Unsicherheit, die sich mit einer genauen Fehlerrechnung, die wir
in diesem Versuch nicht durchgeführt haben, beseitigen oder zumindest
einschränken liese.

Das Ablesen der Durchmesser gestaltete sich bei der Fadenstrahlröhre vor allem
bei großen Radien (wenn die Kreise größer als die am Gerät angebrachte Skala
sind) schwierig. Es gibt einen gewissen Toleranzbereich, in dem sich mit
bloßem Auge die Positionierung der Markierung an der Skala nicht genau
bestimmen lässt. Die Stromstärke bei der der Strich bei der Methode von Busch
zu einem Punkt wird zu bestimmen erschien uns einfacher.

\end{document}