\documentclass[a4,paper]{article}

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\title{Vorbereitung zur geometrischen Optik}
\author{Armin Burgmeier (1347488) \and Gruppe 15}
\date{4. November 2007}

\begin{document}
\maketitle

\section{Brennweitenbestimmungen}
\subsection{Kontrollieren der Brennweite}

Die angegebene Brennweite einer Sammellinse lässt sich überprüfen, indem man
Lichtstrahlen von einer Lichtquelle in großer Entfernung (z.B. der Sonne) auf
eine Linse auf gleicher Höhe treffen lässt. Hinter der Linse verschiebt man
den Schirm dann so, dass man nur noch einen Punkt auf dem Schirm sieht. Da
alle Lichtstrahlen wegen der großen Entfernung zwischen Lichtquelle und Linse
nahezu parallel auf die Linse treffen ist dies der Brennpunkt der Linse, und
der Abstand zwischen Linse und Schirm ist die Brennweite.

\subsection{Genaues Bestimmen der Brennweite}

Bildet man einen Gegenstand mit Hilfe einer Linse auf einen Schirm ab, so gibt
es genau zwei Positionen der Linse, an der die Abbildung scharf erscheint. Es
gilt die so genannte Linsengleichung

\begin{equation}
\label{eq:no1}
\frac{1}{a^\prime} - \frac{1}{a} = \frac{1}{f}
\end{equation}
mit dem Abstand zwischen Linse und Schirm ($a^\prime$) und dem Abstand
zwischen Linse und Objekt ($a$). Zu beachten ist, dass der Ursprung des
Koordinatensystems in der Linse liegt und $a$ daher negativ ist. Die
Entfernung zwischen Objekt und Schirm beträgt

\begin{equation}
\label{eq:no2}
e = a^\prime - a
\end{equation}
wenn wir den Hauptebenenabstand der dünnen Sammellinse vernachlässigen.

Setzt man \ref{eq:no2} in \ref{eq:no1} ein, so erhält man eine quadratische
Gleichung in $a$ mit den Lösungen

\begin{equation}
\label{eq:no3}
a_{1,2} = \frac{-e}{2} \pm \frac{\sqrt{e^2 - 4ef}}{2}
\end{equation}

Mit \ref{eq:no2} findet man $a_1^\prime = -a_2$ und $a_2^\prime = -a_1$. Ist
$d$ der Abstand zwischen den beiden Positionen der
Linse, bei denen ein scharfes Bild entsteht, so ist

\begin{equation}
d = \left|a^\prime + a\right| = \sqrt{e^2 - 4ef}
\end{equation}

Löst man dies nach der gesuchten Brennweite auf, so findet man

\begin{equation}
\label{eq:no5}
f = \frac{1}{4}(e - \frac{d^2}{e})
\end{equation}

Um die unbekannte Brennweite einer dünnen Sammellinse zu bestimmen, bildet
man also einen Gegenstand durch die Linse auf einen Schirm ab und bestimmt
experimentell die beiden Positionen, bei denen das Bild scharf wird. Den
Abstand dieser beiden Positionen lässt sich ebenso leicht messen wie der
Abstand zwischen Objekt und Bild woraus sich mit Gleichung \ref{eq:no5} die
Brennweite ermitteln lässt.

$e > 4f$ muss gelten, weil $4f$ die Mindestentfernung zwischen Objekt und Bild
ist, bei der überhaupt eine Abbildung möglich ist. Ist $\frac{e}{f}$ sehr
groß, so muss entweder das Bild oder das Objekt nah am Brennpunkt der Linse
sein, und das System wirkt empfindlich auf Variation der Linsenposition. Eine
genaue Scharfstellung wird somit schwierig.

Beim Arbeiten mit Linsen(systemen) treten generell Linsenfehler auf. Zwei
davon wollen wir in diesem Versuch untersuchen:

\begin{itemize}
\item Sphärische Aberration

Bei der sphärischen Aberration tritt der Effekt zutage, dass Strahlen nahe
der Mittelachse durch dies Linse (das sogenannte Paraxialgebiet) durch die
Bauform der Linse in einem Brennpunkt weiter weg von der Linse gesammelt
werden als die Strahlen, die am Rand der Linse auftreffen (sogenannte
Randstrahlen). Mit einem verstellbaren Spalt lassen sich nur entweder Rand-
oder Paraxialstrahlen auf die Linse treffen.

\item Chromatische Aberration

Lichtwellen unterschiedlicher Frequenzen werden unterschiedlich stark
gebrochen, daher werden blaue Lichtstrahlen näher an der Linse gesammelt als
rote Lichtstrahlen. Da wir in der Regel kein monochromatisches Licht verwenden
treten somit rote und blaue Ränder bei der Abbildung auf. Durch Rot- und
Blaufilter lassen sich die roten bzw. blauen Strahlen filtern.

\end{itemize}

\subsection{Bestimmung der Brennweite eines Zweilinsensystems}

Wieder von der Linsengleichung \ref{eq:no1} ausgehend kommt man durch
Erweiterung mit $a$ und der Beziehung $\beta = \frac{a^\prime}{a}$ (mit dem
Abbildungsmaßstab $\beta$) auf

\begin{equation}
\label{eq:no6}
\frac{1}{\beta} = 1 + \frac{a}{f}
\end{equation}

Wählt man nun einen festen Bezugspunkt $P$ im System (in den man gleichzeitig
den Ursprung des Koordinatensystems legt) und definiert man den Abstand
zwischen Bezugspunkt und der Hauptebene $H$ als $l$ und den Abstand zwischen
Bezugspunkt und Objekt $O$ als $x$, so gilt $x = l + a$.

Gleichung \ref{eq:no6} wird damit zu

\begin{equation}
\label{eq:no7}
\frac{1}{\beta} = 1 - \frac{l}{f} + \frac{x}{f}
\end{equation}

Dies kann man als Geradengleichung in x auffassen. Misst man also 
Abbildungsmaßstäbe für verschiedene $x$ (durch Variation der Position des
Objekts) und trägt man $\frac{1}{\beta}$ über $x$ auf, so kann man die
Parameter der Geradengleichung, nämlich $1 - \frac{l}{f}$ und $\frac{1}{f}$
und somit die Brennweite und den Abstand der Hauptebene vom Bezugspunkt $P$
bestimmen.

Dreht man das System um $180^\circ$ und wiederholt die Messung so findet man
auch den Abstand der zweiten Hauptebene vom Bezugspunkt. Der
Hauptebenenabstand beträgt dann $l_1 - \left|l_2\right|$.

Bei wenigstens zwei Messungen für unterschiedliche Linsenabstände kann man
über

\begin{equation}
\label{eq:no8}
\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1f_2}
\end{equation}
die Brennweiten der Einzellinsen errechnen. Dazu betrachtet man Gleichung
\ref{eq:no8} wieder als Geradengleichung (in $d$). Bei verschiedenen
Linsenabständen $d$ misst man also verschiedene Brennweiten $F$ und findet
nach linearer Regression den y-Achsenabschnitt $c = \frac{1}{f_1} +
\frac{1}{f_2}$ und die Steigung $m = -\frac{1}{f_1f_2}$. Daraus ergeben sich
die Brennweiten der Einzellinsen zu

\begin{equation}
\label{eq:no9}
f_{1,2} = \frac{c}{2m} \pm \frac{\sqrt{c^2 + 4m}}{2m}
\end{equation}

\section{Aufbau optischer Instrumente}

\subsection{Fernrohre}

\subsubsection{Keplersches Fernrohr}

Bei einem keplerschen Fernrohr werden zwei Sammellinsen so angeordnet, dass
der hintere Brennpunkt der ersten Linse im vorderen Brennpunkt der zweiten
Linse liegt. Die erste Linse sollte eine größere Brennweite als die zweite
Linse haben. Die Vergrößerung ergibt sich zu

\begin{equation}
\label{eq:no10}
\frac{y}{y^\prime} = -\frac{f_1}{f_2}
\end{equation}

Das negative Vorzeichen deutet an, dass bei zwei positiven Brennweiten
das Bild umgekehrt angezeigt wird. Die Vergrößerung lässt sich auch messen
indem man mit einem Auge durch das Fernrohr und mit dem anderen daran vorbei
schaut.

\subsubsection{Galileisches Fernrohr}

Ein galileisches Fernrohr besteht aus einer Sammellinse als Objektiv und einer
Zerstreuungslinse als Okular. Die Linsen sind so anzuordnen, dass der hintere
Brennpunkt der Sammellinse mit dem hinteren Brennpunkt der Zerstreuungslinse
übereinstimmt. Die Vergrößerung ergibt sich ebenfalls nach Gleichung
\ref{eq:no10} wobei die Brennweite $f_2$ der Zerstreuungslinse negativ ist;
das Bild steht aufrecht.

\subsection{Diaprojektion}

Das Licht einer (möglichst) punktförmigen Lampe wird mit Hilfe einer
Sammellinse (der so genannte Kondensor), hinter dem direkt das Dia
(verkehrt herum) verankert ist, gebündelt. Dann trifft es auf eine weitere
Sammellinse und erscheint schließlich auf dem Schirm.

Aus der Linsengleichung \ref{eq:no1} ergibt sich mit dem Gesamtabstand
zwischen Dia und Schirm $d = a^\prime - a$ (a hat negatives Vorzeichen, da
der Ursprung in der Vergrößerungslinse liegt)

\begin{equation}
\label{eq:no11}
\frac{1}{f} = \frac{d}{ad + a^2}
\end{equation}

Aus den beiden gegebenen Bedingungen $d = a^\prime - a = 1,5 \mathrm m$ und
$\frac{a^\prime}{a} = -10$ (zehnfache Vergrößerung; negatives Vorzeichen da
das Dia zwar verkehrt herum montiert ist, das Bild aber aufrecht angezeigt
wird) findet man

\begin{equation}
\label{eq:no12}
a = -\frac{1}{11}d
\end{equation}
und mit Gleichung \ref{eq:no11} schließlich $f = -0,129 \mathrm m$,
$a = -0,136 \mathrm m$ und $a^\prime = 1,36 \mathrm m$. Da sich vor und hinter
der Linse das gleiche optische Medium (Luft) befindet, sind die beiden
Brennpunkte symmetrisch und daher beide $0,129 \mathrm m$ von der Linse
entfernt.

\subsection{Mikroskop}

Ein Mikroskop besteht wieder aus zwei Linsen, einem Objektiv und einem Okular.
Diese sind so angeordnet, dass das Bild, das das Objektiv erzeugt, im
Brennpunkt des Okulars liegt. Das zu vergrößernde Objekt befindet sich nahe
des Brennpunkts des Objektivs. Dieses erzeugt dann ein vergrößertes
(virtuelles) Bild. Ist $a^\prime$ der Abstand zwischen Linse und Gegenstand und
$f_1$ die Brennweite des Objektivs, so ergibt sich der Vergrößerungsfaktor zu

\begin{equation}
V_{objektiv} = \frac{a^\prime}{f_1}
\end{equation}

Das Okular wirkt nun als Lupe, da es so platziert ist, dass das Zwischenbild
des Objektivs genau in seinem Brennpunkt entsteht. Ist das Auge in der
Entfernung $s_0$ zum Okular, und ist $f_2$ die Brennweite desselben,
dann ist die Vergrößerung

\begin{equation}
V_{okular} = \frac{s_0}{f_2}
\end{equation}

Die Gesamtvergrößerung findet sich zu

\begin{equation}
V = V_{objektiv}V_{okular} = \frac{a^\prime s_0}{f_1f_2}
\end{equation}

Die Auflösung kann bei immer kleiner werdenden Brennweiten allerdings nicht
beliebig gesteigert werden, da man Punkte in einem Abstand im
Wellenlängenbereich des Lichts nicht mehr auseinander halten kann. Mit der
geometrischen Optik kann man dies jedoch nicht mehr erklären.

Die Messung der Vergrößerung kann man genauso wie beim Teleskop vornehmen:
Man schaut mit einem Auge durch das Mikroskop und mit dem anderen daran vorbei
auf eine Millimeterskala.

\section{Literatur}

Neben der uns ausgehändigten Literaturmappe habe ich zusätzlich die
Informationen auf http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/gk3a-2003/node18.html
verwendet.

\end{document}
