\documentclass[a4,paper]{article}

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\title{Vorbereitung zur ferromagnetischen Hysteresis}
\author{Armin Burgmeier (1347488) \and Gruppe 15}
\date{11. November 2007}

\begin{document}
\maketitle

\section{Luftspule}

An eine Reihenschaltung von Vorwiderstand und Spule wird eine Wechselspannung
von $f = 50 Hz$ angelegt. Durch Messung der Spannungsamplitude $\hat{U}$ am
Widerstand können wir die Stromstärke bestimmen:

\begin{equation}
\hat{I} = \frac{\hat{U}}{R}
\end{equation}

Die verlustbehaftete Spule wiederrum lässt sich als Reihenschaltung von
Widerstand $r$ und Induktivität $L$ auffassen. $Z = r + i \omega L$ bezeichnet
dann den Scheinwiderstand dieser Anordnung (mit der Kreisfrequenz
$\omega = 2 \pi f$).

Misst man nun die Spannung an der Spule $U_L$ kann man aus
$\left|Z\right| = \frac{\hat{U}_L}{\hat{I}}$ den Betrag des Scheinwiderstands
bestimmen. Lässt man sich die Spannungskurven von Vorwiderstand und Spule
gleichzeitig auf einem Oszilloskop anzeigen, so kann man die Zeitdifferenz
$\Delta t$ der Nulldurchgänge der beiden Kurven ermitteln.

Die Phasendifferenz $\varphi$ ergibt sich dann aus $T = \frac{2 \pi}{\omega}$
zu $\varphi = 2 \pi \frac{\Delta t}{T} = \Delta t \omega$. Nun kann man mit
den Beziehungen

\begin{equation}
r = \left|Z\right| \cos \varphi
\end{equation}
und
\begin{equation}
L = \left|Z\right| \frac{\sin \varphi}{\omega}
\end{equation}
die Induktivität und den Verlustwiderstand bestimmen. Die zu erwartende
Induktivität der Zylinderspule ergibt sich zu

\begin{equation}
L = n^2 \mu_0 k \frac{A}{l}
\end{equation}
Dabei ist $n$ die Windungszahl der Spule, $A$ der Spulenquerschnitt, $l$
die Länge der Spule und $k$ ein Korrekturfaktor falls die Länge der Spule
nicht signifikant größer als ihr Radius ist.

\section{Spule mit Eisenkern}

Für eine Spule mit Eisenkern gilt

\begin{equation}
L = k n^2 \mu \mu_0 \frac{A}{l}
\end{equation}
mit der mittleren Länge $l$ der Feldlinien im Eisenkern und der
Querschnittsfläche des Eisenkerns $A$. Die Länge und der Querschnitt der
Spule sind vernachlässigbar. $L$ lässt sich auf die gleiche Weise wie bei
der Luftspule bestimmen. Dann ist nur noch $\mu$ unbekannt und durch
Umstellen nach $\mu$

\begin{equation}
\mu = \frac{L l}{n^2 k \mu_0 A}
\end{equation}

findet man die geforderte Wechselfeld-Permeabilität. Da $L$ nun von der
Stromstärke abhängt wird auch $\mu$ von der Stromstärke abhängig sein.

\section{Hysteresiskurve und Ummagnetisierungsverluste}

Um eine Hysteresekurve auf dem Oszilloskop sichtbar zu machen, schaltet man
es auf X/Y-Betrieb und trägt auf der X-Achse ein Signal proportional zu
$H$ und auf der Y-Achse eines proportional zu $B$ auf.

Als Maß für $H$ kann der Spannungsabfall am Vorwiderstand benutzt werden. Die
Eichung ergibt sich dann aus $H = n k \frac{I}{l}$ und $I = \frac{U}{R}$ zu

\begin{equation}
H = n k \frac{U}{R l}
\end{equation}

Als Maß für $B$ eignet sich ein RC-Glied, das an einen sekundären Stromkreis
angeschlossen ist, in dem eine Spannung $U_{ind} = n_2 A \dot{B}$ induziert
wird (mit der Windungszahl $n_2$ und der Querschnittsfläche $A$ der Spule in
der dies geschieht). Für die Spannung am Kondensator gilt:

\begin{equation}
U_C = \frac{Q}{C} = \frac{1}{C} \int I \mathrm dt =
\frac{1}{C} \int \frac{U_{ind} - U_C}{R}
\end{equation}
wobei $R$ der Widerstand des RC-Gliedes und $C$ die Kapazität des Kondensators
ist. Gilt nun $U_C << U_{ind}$, was durch einen möglichst hohen Widerstand und
eine möglichst hohe Kapazität erreicht werden kann, so ist
$U_{ind} - U_C \approx U_{ind}$. Mit

\begin{equation}
B = \frac{1}{n_2 A} \int U_{ind} \mathrm dt = \frac{R C U_C}{n_2 A}
\end{equation}

ergibt sich dann eine Eichung für $B$, denn $R$, $C$, $n_2$ und $A$ sind
bekannt. $U_C << U_{ind}$ gilt dann, wenn die Spannung am Widerstand $R$ groß
im Vergleich zur Spannung am Kondensator $U_C$ ist. Daher muss
$R >> \frac{1}{\omega C}$ gelten.

Wählen wir $R = 100 k\Omega$ und $C = 10 \mu F$ finden wir bei
$f = 50 Hz$ $100000 \Omega >> 318,3 \Omega$, d.h. der Fehler ist kleiner als
$1\%$.

Das Integral $\oint B \mathrm dH$ ergibt sich durch Zählen der Kästchen auf
dem Oszilloskopbild und entspricht der Magnetisierungsarbeit pro Volumen
$\frac{W}{V}$. Mithilfe der Zeit eines Zyklus $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ und
dem Materialvolumen des Eisenkerns $V = l A$ berechnet sich die
Verlustleistung zu

\begin{equation}
P = \frac{W}{V} \frac{V}{T}
\end{equation}

Kennt man zusätzlich den Spulenstrom $I_{eff}$, kann man auch den
Verlustwiderstand

\begin{equation}
r = \frac{P}{I_{eff}^2}
\end{equation}
berechnen.

Liest man ein Wertepaar $(H, B)$ der Hysteresekurve ab, so kann man die
zugehörige Wechselfeld-Permeabilität über die Beziehung $B = \mu_0 \mu H$ zu

\begin{equation}
\mu = \frac{1}{\mu_0} \frac{B}{H}
\end{equation}
finden.

\section{Remanenz, Koerzitivkraft und \newline Sättigungsinduktion}

Schaltet man das äußere Magnetfeld $H$ ab, so bleiben die magnetischen
Bezirke im Material noch teilweise ausgerichtet, das heißt die magnetische
Flussdichte $B$ ist nicht $0$. Dieser Effekt heißt Remanenz.

Will man, dass $B$ dennoch verschwindet, so muss man ein entgegengesetztes
Magnetfeld $H$ anlegen. Die Feldstärke, die nötig ist um $B$ verschwinden zu
lassen heißt Koerzitivkraft.

Die Sättigungsinduktion ergibt sich zu

\begin{equation}
B_S = B - \mu_0 H
\end{equation}
für das Wertepaar $(H, B)$ am Sättigungspunkt auf der Hysteresekurve.

\end{document}
