\documentclass[a4,paper]{article}

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\title{Protokoll zum Versuch \glqq Ferromagnetische Hysterese\grqq}
\author{Kirstin Hübner \and Armin Burgmeier \and Gruppe 15}

\begin{document}
\maketitle

\section{Induktivit"at und Verlustwiderstand einer \newline Luftspule}

\subsection{Messungen und Berechnen}

Wir haben die Schaltung wie in den Vorbereitungen beschrieben aufgebaut. Bei
einem Strom von $I_{eff} = 300 mA$ bzw. $I_{eff} = 30 mA$ und einem Widerstand
von $R = 10 \Omega$ erhielten wir folgende Messwerte für die Zeitdifferenz
$\Delta t$ zwischen Nulldurchgängen und Spannungsamplituden an Widerstand
$\hat{U}_R$ und Spule $\hat{U}$.

\begin{table}[ht]
\begin{tabular}{c|c|c|c}
$I_{eff}$ [mA] & $\Delta t$ [ms] & $\hat{U}_R$ [V] & $\hat{U}$ [V] \\
\hline
300 & 3,0 & 8,0 & 7,0 \\
30  & 2,6 & 0,8 & 0,65
\end{tabular}
\end{table}

Daraus können wir nun die geforderten Größen berechnen:

\begin{table}[ht]
\begin{tabular}{c|c|c|c}
$I_{eff}$ [mA] & $\varphi$ [Grad] & Verlustwiderstand $r$ [$\Omega$] & Induktivität $L$ [mH] \\
\hline
300 & 54,0 & 5,14 & 22,53 \\
30  & 46,8 & 5,56 & 18,85
\end{tabular}
\end{table}

Wir haben erwartet, dass der Verlustwiderstand und die Induktivität
unabhängig von der Stromstärke $I_{eff}$ sind. Die Abweichungen betragen
für den Verlustwiderstand $8,2\%$ und für die Induktivität $19.5\%$. Diese
lassen sich aus Ablesefehlern und Störfelder durch die Anhäufung der Kabel
erklären.

\subsection{Theoretische Berechnung}

Die Induktivität ergibt sich rechnerisch für eine Zylinderspule zu

\begin{equation}
L = k n^2 \mu_0 \frac{A}{l} = 36,9 mH
\end{equation}
wobei wir die eingesetzten Werte aus der Vorbereitungsmappe entnommen haben.
$k$ ist ein geometrieabhängiger Korrekturfaktor, da die Spule nicht lang
gegenüber ihrem Durchmesser ist. Die Abweichung beträgt $63,8\%$ für 
$I_{eff} = 300 mA$ bzw. $95,8\%$ für $I_{eff} = 30 mA$. Diesen immensen
Fehler ergeben sich aus Ablesefehlern, Störfelder durch die Anhäufung der
Kabel und eventuelle Abweichungen der gegebenen Daten der Vorbereitungsmappe
und der reellen Bauteile.

Für den Verlustwiderstand $r$ gilt:

\begin{equation}
r = \rho \frac{l_{Draht}}{A} = 9,45 \Omega
\end{equation}

Auch hier ergeben sich große Abweichungen von $83,9\%$ für $I_{eff} = 300 mA$
und $70,0\%$ für $I_{eff} = 30 mA$. Die Fehlerquellen sind die gleichen wie
bei der Induktivität. 

\section{Induktivit"at und Verlustwiderstand einer \newline
         Spule mit geschlossenem Eisenkern}

\subsection{Messung}

Im Vergleich zu Aufgabe 1.1 haben wir nun einen geschlossenen Eisenkern in
die Spule eingefügt. Die Spannungsamplitude war auf dem Oszilloskop selbst bei
höchstem Messbereich nicht mehr darstellbar, daher haben wir einen
$8,9 M\Omega$-Widerstand in Reihe zwischen Spule und Oszilloskop geschaltet.
Dadurch ergibt sich ein Faktor von $9,9$, da der Innenwiderstand des
Oszilloskops $1,0 M\Omega$ beträgt, den wir bei der Berechnung von
$\hat{U}$ berücksichtigen müssen. Es ergaben sich folgende Messwerte:

\begin{table}[ht]
\begin{tabular}{c|c|c|c}
$I_{eff}$ [mA] & $\Delta t$ [ms] & $\hat{U}_R$ [V] & $\hat{U}$ [V] \\
\hline
30 & 3,6 & 0,73 & 44,55 \\
10 & 4,0 & 0,24 & 4,46
\end{tabular}
\end{table}

Daraus können wir erneut die geforderten Größen berechnen:

\begin{table}[ht]
\begin{tabular}{c|c|c|c}
$I_{eff}$ [mA] & $\varphi$ [Grad] & Verlustwiderstand $r$ [$\Omega$] & Induktivität $L$ [mH] \\
\hline
30 & 64,8 & 259,84 & 1757,68 \\
10 & 72,0 & 57,43 & 562,57
\end{tabular}
\end{table}

Wie erwartet sind Verlustwiderstand und Induktivität deutlich größer als bei
der Spule ohne Eisenkern und die Werte hängen sichtbar von der Stromstärke ab.

\subsection{Theoretische Berechnung}

Für die relative Wechselfeld-Permeabilitiät $\mu$ folgt aus der Gleichung

\begin{equation}
\mu = \frac{L l_{Kern}}{n^2 k A_{Kern} \mu_0}
\end{equation}

$\mu = 802,56$ für $I_{eff} = 30 mA$ und $\mu = 256,87$ für $I_{eff} = 10 mA$,
wobei wir für $l_{Kern} = 48 cm$ und $A_{Kern} = 15,21 cm^2$ aus der
Vorbereitungsmappe übernommen haben.

\section{Ferromagnetische Hysteresis und Ummagnetisierungsverluste}

\subsection{Magnetisierungskurve}

Die gemessenen Kurven haben wir im Anhang beigefügt. Zuvor hatten wir die
Schaltung wie in der Vorbereitung beschrieben aufgebaut und für den
Widerstand $R_1 = 100 k\Omega$ und die Kapazität $C = 10 \mu F$ gewählt,
damit $RC\omega >> 1$ gilt.

\subsection{Eichung der Achsen}

Für die H-Achse gilt

\begin{equation}
H = n_1 k \frac{U_R}{R l_{Kern}} = 114,57 \frac{A}{m V} U_R
\end{equation}
Für die B-Achse gilt

\begin{equation}
B = \frac{R_1 C U_C}{n_2 A} = 13,15 \frac{T}{V} U_C
\end{equation}

\subsection{Ummagnetisierungs-Verlustleistung}
\label{3blablabla}

Wie in der Vorbereitung beschrieben ist der Flächeninhalt der Hystereseschleife
gleich der Ummagnetisierungsarbeit pro Volumen. Zur Berechnung des
Fl"acheninhalts haben wir die Kurven ausgedruckt, ausgeschnitten und gewogen,
wobei wir für die Papierdichte $\sigma = 80 \frac{g}{m^2}$ als Eichung
angenommen haben.

Nun müssen wir noch feststellen, wie viel Arbeit pro Volumen einem
Quadratzentimeter Fläche der Hysteresekurve entspricht. Dazu schauen wir welche
Spannungen $U_R$ und $U_C$ jeweils einem Quadratzentimeter auf dem Ausdruck
entsprechen.

Die somit erhaltenen Werte haben wir in die Gleichungen aus der Vorbereitung
eingesetzt und die folgenden Ummagnetisierungs-Verlustleistungen
und Verlustwiderst"ande errechnet:

\begin{table}[ht]
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}
$I_{eff}$ [mA] & Umrechnung & Gewicht [$g$] & Fläche [$cm^2$]& $P_{mag}$ [$W$] & $r$ [$\Omega$] \\
\hline
30 & $1 cm^2 \widehat{=} 0,2183 \frac{J}{m^3}$ & $0,5423$ & $67,787$ & $0,540$ & $600,20$ \\
10 & $1 cm^2 \widehat{=} 0,0175 \frac{J}{m^3}$ & $0,1658$ & $20,725$ & $0,0132$ & $132,40$
\end{tabular}
\end{table}

Problematisch war hierbei, dass die am Computer dargestellten Hysteresekurven
nicht immer klare Konturen aufwiesen, was das Ausschneiden erschwerte.
Besonders bei $I_{eff} = 10 mA$ glich die Kurve mehr einem breiten Streifen,
wodurch man nicht abschätzen konnte, wo die Kurve verborgen liegt. Daher
nehmen wir hier einen sehr großen Fehler an.

\subsection{Wechselfeld-Permeabilität}

Folgende Spannungen $U_R$ bzw. $U_C$ haben wir an den Sättigungspunkten
festgestellt:

\begin{table}[ht]
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}
$I_{eff}$ [mA] & $U_R$ [V] & $U_C$ [V] & $H$ [$\frac{A}{m}$] & $B$ [$T$] & $\mu$ \\
\hline
30 & $0,43$ & $0,013$ & $49,27$ & $0,17$ & $2745,72$ \\
10 & $0,14$ & $0,0016$ & $16,04$ & $0,021$ & $1041,85$
\end{tabular}
\end{table}

\subsection{Vergleich der Wechselfeld-Permeabilitätswerte}

\begin{table}[ht]
\begin{tabular}{c|c|c}
$I_{eff}$ [mA] & $\mu$ (Aufgabe 2) & $\mu$ (Aufgabe 3) \\
\hline
30 & 802,56 & 2745,72 \\
10 & 256,87 & 1041,85
\end{tabular}
\end{table}

Wie man sieht ergeben sich enorme Abweichungen, die wir uns auch nicht
vollständig erklären können.

\section{Vergleich Eisen-Ferrit}

Zunächst müssen wir die H- und B-Achse neu eichen, da wir nun eine neue
Spule mit 250 Windungen und verschiedene Kerne benutzen.

\subsection{Eichung Eisenkern}

Für die H-Achse gilt

\begin{equation}
H = n_1 \frac{U_R}{R l_{Kern}} = 52,08 \frac{A}{m V} U_R
\end{equation}
Für die B-Achse gilt

\begin{equation}
B = \frac{R_1 C U_C}{n_2 A} = 13,15 \frac{T}{V} U_C
\end{equation}

\subsection{Eichung Ferrit-Schalenkern}

Für die H-Achse gilt

\begin{equation}
H = n_1 \frac{U_R}{R l_{Kern}} = 238,10 \frac{A}{m V} U_R
\end{equation}
Für die B-Achse gilt

\begin{equation}
B = \frac{R_1 C U_C}{n_2 A} = 32,00 \frac{T}{V} U_C
\end{equation}

\subsection{Messung}

Wir haben die Schaltung aus Aufgabe 3 übernommen und nur die jeweiligen Spulen
und Kerne ausgetauscht.

\begin{table}[ht]
\begin{tabular}{l|c|c}
Messwert & Eisenkern & Ferritkern \\
\hline
$I_{eff}$ [mA] & 200 & 15 \\
Remanenz [T] & 0,33 & 0,032 \\
Koerzitivkraft [$\frac{A}{m}$] & 93,74 & 7,14 \\
Sättigungsinduktion [T] & 0,45 & 0,20 \\
Umrechnung & $1 cm^2 \widehat{=} 1,99 \frac{J}{m^3}$ & $1 cm^2 \widehat{=} 0,44 \frac{J}{m^3}$ \\
Gewicht [g] & 0,5709 & 0,0817 \\
Fläche der Kurve [$cm^2$] & 71,36 & 10,21 \\
$P_{mag}$ [W] & 5,18 & 0,015
\end{tabular}
\end{table}

Das Ablesen der Remanenz-, Koerzitivkraft- und Sättigungspunkte war nicht
immer eindeutig, da die Kurven keine klaren Konturen hatten. Dies und die in
\ref{3blablabla} erwähnten Probleme tragen hauptsächlich zum Fehler bei.

Wie erwartet hatte der Ferrit-Schalenkern eine schmalere Hysteresekurve als
der Eisenkern und eine deutlich kleinere Verlustleistung. Damit bestätigen
sich die Hinweise aus der Aufgabenstellung.

\section{Fazit}

Insgesamt hat uns an diesem Versuch besonders gefallen, dass man durch
nicht allzu komplizierte Aufbauten sehr anschauliche Ergebnisse erhalten und
den grundlegenden Umgang mit dem Oszilloskop verstanden hat. Widersprüchliche
Angaben über Windungszahlen der Spulen in den Vorbereitungsmappen waren jedoch
verwirrend.

Die erhaltenen Ergebnisse weichen zum Teil sehr stark von den theoretischen
Werten (und auch voneinander) ab. Wir können daher nicht ausschließen, die
Messung wirklich fehlerfrei durchgeführt zu haben.

\end{document}
