\documentclass[a4,paper]{article}

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\title{Vorbereitung zum Halleffekt}
\author{Armin Burgmeier (1347488) \and Gruppe 15}
\date{25. November 2007}

\begin{document}
\maketitle

\setcounter{section}{-1}
\section{Grundlagen}

\subsection{Halleffekt}

Auf geladene, bewegte Teilchen im Magnetfeld wirkt die Lorentzkraft
$\vec{F_L} = q \vec{v} \times \vec{B}$, auf geladene Teilchen im
elektrischen Feld eine elektrische Kraft $\vec{F_{el}} = q \vec{E}$.

Dies trifft auch auf Ladungsträger in einem elektrischen Leiter zu. Fließe
also ein Strom $I$ durch einen Leiter, der so in ein Magnetfeld gebracht wird,
dass er senkrecht zu den Feldlinien des Feldes steht. Der Einfachheit halber
sei das Koordinatensystem so gewählt, dass sich die Elektronen im Leiter in
$x$-Richtung bewegen und das Magnetfeld in $z$-Richtung zeigt:

\begin{equation}
\vec{v} = \left(\begin{array}{c}v \\ 0 \\ 0\end{array}\right)
\hspace{1cm}
\vec{B} = \left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ B\end{array}\right)
\end{equation}

Auf die Elektronen im Leiter wirkt die Lorentzkraft wodurch sie an den
Rand des Leiters abgelenkt werden. Die positiven Ladungsträger hingegen sind
nicht frei beweglich. So findet eine Ladungstrennung statt und zwischen
positiven und negativen Ladungsträgern entsteht ein elektrisches Feld
$\vec{E}$. Betrachtet man den Leiter als Plattenkondensator, so ergibt sich
$\left|E\right| = \frac{U_H}{d}$, wobei $U_H$ die Hallspannung (die
gemessen werden kann) und $d$ die Dicke des Leiters ist.

Über die Stromdichte $\vec{j} = n e v$ (mit der Ladungsträgerdichte $n$)
und $|j| = \frac{I}{A}$ (mit dem Leiterquerschnitt $A$) kann man schließlich 
eine Beziehung zwischen der Stromstärke $I$ und der Geschwindigkeit der
Elektronen $\vec{v}$ finden.

Die abstoßende Kraft $\vec{F_L}$ und die anziehende elektrische
Kraft $\vec{F_{el}}$ stehen in einem Gleichgewicht, sodass gilt:

\begin{equation}
e \vec{v} \times \vec{B} = e \vec{E}
\end{equation}

Setzt man die oben genannten Beziehungen ein, so erhält man für $B$:

\begin{equation}
B = \frac{n e A}{I d} U
\end{equation}
Stellt man dies nach der Hallspannug $U$ um

\begin{equation}
\label{eqno:1}
U = \frac{B I d}{n e A} = R_H \frac{B I}{b}
\end{equation}
so ergibt sich die Hallkonstante $R_H$. Sie ist nur vom verwendeten Material
abhängig. $b = \frac{A}{d}$ ist die Breite der Hallsonde.

\subsection{Feldplatte}

Eine Feldplatte ist ein elektrisches Bauteil, dessen Widerstand vom magnetischen
Feld abhängt, in dem es sich befindet. In dieser Feldplatten verlaufen in
geringem Abstand (Mikrometerbereich) stromleitende Nadeln. Befindet sich die
Platte im feldfreien Raum, so beeinflussen diese den Stromfluss nicht.

Liegt aber ein Magnetfeld $\vec{B}$ an, so erfahren die Elektronen eine
Lorentzkraft und werden zu einer Seite hin abgelenkt. Somit vergrößert sich
der Weg den sie durch die Feldplatte nehmen und damit der ohmsche Widerstand
der Platte. Dieser Zusammenhang ist aber nicht proportional, daher liegt uns
für den Versuch eine Kurve vor, die die $B\left(U_f\right)$-Abhängigkeit
beschreibt, wobei $U_f$ die vor und nach der Feldplatte abgegriffene Spannung
ist. Diese ist annährend unabhängig vom durchflossenen Strom, da ein
Vorwiderstand $R_V$, der 40-mal so groß wie ist wie die maximal mögliche
Spannung an der Feldlpatte $U_f$, in die Schaltung integriert ist.

\section{Messung des magnetischen Feldes mit einer Feldplatte}

\subsection{Bestimmung des Magnetfelds}

Es sollen Erregerströme $I_{er}$ ermittelt werden, die nötig sind, um
Magnetfelder bestimmter Feldstärken zu erzeugen. Dies kann zwar auch
rechnerisch mithilfe des Biot-Savart-Gesetzes

\begin{equation}
B\left(\vec{r}\right) =
\frac{\mu}{4 \pi} \int_V \vec{j}\left(\vec{r}\right) \times
\frac{\vec{r} - \vec{r}^\prime}{\left|\vec{r} - \vec{r}^\prime\right|^3}
\mathrm dV^\prime
\end{equation}
ermittelt werden, jedoch ist das Integral je nach Geometrie der
Anordnung schwer bis gar nicht analytisch zu lösen.

Stattdessen messen wir mit der Feldplatte eine Spannung $U_f$, aus der wir
mittels der vorliegenden Eichkurve auf die magnetische Flussdichte $B$
schließen können. Nun können wir den Erregerstrom $I_{er}$ so einstellen,
dass wir eine bestimmte Feldstärke $B$ erreichen und bei genügend vielen
Messpunkten $B$ über $I_{er}$ auftragen.

\section{Messungen an einer Metallhallsonde}

\subsection{Linearität der Hallspannung und Ermitteln der Hallkonstante}

Mit einer Hallsonde aus Gold soll die Hallspannung $U_H$ bei verschiedenen
Magnetfeldern $B$ und bei verschiedenen Steuerströmen $I_S$ gemessen und die
Linearität zwischen den beiden Größen und der Hallspannung verifiziert werden.
Da sich unausweichlich Geometriefehler bei der Hallsonde ergeben müssen diese
durch ein Potentiometer ausgeglichen werden. Die Sonde ist so zu eichen, dass
sich bei einem Magnetfeld von $B = 0 \unit{T}$ eine Hallspannung von
$U_H = 0 \unit{V}$ ergibt.

Um die Linearität der Abhängigkeiten $U_H\left(I_S\right)$ und
$U_H\left(B\right)$ nachprüfen und in der Fehlerrechnung eine
Aussage über die Standardabweichung machen zu können müssen jeweils mehrere
Wertepaare (etwa 10) aufgenommen werden. Bei konstantem Magnetfeld $B$ wird
der Steuerstrom $I_S$ variiert und umgekehrt. Die Stellgrößen sollten
gleichmäßig über die gültigen Intervalle ($0 \unit{A} \leq I_S \leq
0,15 \unit{A}$, $0 \unit{T} \leq B \leq 1,4 \unit{T}$) verteilt sein.

Aus den Ausgleichsgeraden ergibt sich nach Gleichung \ref{eqno:1} die
Hallkonstante $R_H$. Laut Wikipedia erwarten wir hier einen Wert von
$R_H = -7 \cdot 10^{-11} \unitfrac{m^3}{C}$. Die Ladungsträgerdichte
ergibt sich dann direkt aus der Hallkonstanten zu $n = \frac{1}{R_H e}$.

Die mittlere Zahl freie Elektronen pro Goldatom $\zeta_{Au}$ ergibt sich
aus dem Quotienten von Elektronendichte und Teilchendichte:

\begin{equation}
\zeta_{Au} = \frac{n}{\rho_n}
\end{equation}
Dabei ist $\rho_n$ die Anzahl an Teilchen pro Volumen. Sie ergibt sich zu

\begin{equation}
\rho_n = \rho_{Au} \frac{N_A}{M_{au}}
\end{equation}
mit der Materialdichte $\rho_{Au}$, der Avogadro-Konstanten $N_A$ und der molaren
Masse von Gold $M_{Au}$. Für Gold betragen diese Konstanten

\begin{displaymath}
\rho = 19,3 \unitfrac{g}{cm^3}
\hspace{1cm}
N_A = 6,02 \cdot 10^{-23} \unitfrac{1}{mol}
\hspace{1cm}
M_{au} = 197,0 \unitfrac{g}{mol}
\end{displaymath}

\subsection{Elektrische Leitfähigkeit und Elektronenbeweglichkeit}

An einer Seite der Hallsonde befinden sich zwei weitere Anschlüsse, an denen
die Spannung $U_r$ die zwischen diesen abfällt gemessen werden kann. Kennt
man den Steuerstrom $I_s$, so kann man daraus den Widerstand $R$ der
Hallsonde berechnen

\begin{equation}
R = \frac{1}{I} U
\end{equation}
Bei mehreren gemessenen Werten wird wieder eine Ausgleichsrechnung
vorgenommen. Für den spezifischen Widerstand gilt bei konstanter Stromdichte
$\vec{j}$, wie wir sie im Versuch annehmen:

\begin{equation}
R = \rho \frac{l}{A}
\end{equation}

Die elektrische Leitfähigkeit $\sigma_{Au}$ entspricht dem Kehrwert
des spezifischen Widerstands $\rho$. Die Elektronenbeweglichkeit $\mu_{Au}$
berechnet sich dann zu

\begin{equation}
\mu_{Au} = \sigma_{Au} R_H
\end{equation}

\section{Messungen an einer Halbleiterhallsonde}

Als Halbleiter wird Indiumarsenid eingesetzt, eine Verbindung zwischen Indium
und Arsen. Bei Halbleitern ist zu beachten, dass es zwei Arten von 
Ladungsträgern gibt, nämlich konventionelle Elektronen und Löcher die sich wie
positive Ladungsträger verhalten. Bei Indiumarsenid kann die Leitung der
Löcher jedoch vernachlässigt werden gegenüber der Elektronenleitung. Es
werden die gleichen Messungen und Berechnungen wie bei der Goldhallsonde
durchgeführt.

\subsection{Linearität der Hallspannung und Ermitteln der Hallkonstante}

Es soll überprüft werden ob auch bei Halbleitern ein linearer Zusammenhang
zwischen Hallspannung und Steuerstrom bzw. Hallspannung und Magnetfeld
vorliegt. Die molare Masse zur Bestimmung der mittleren Zahl freier
Ladungsträger ergibt sich aus der Summe der Molaren Masse von Arsen und
Indium und beträgt $M_{InAs} = 189,7 \unitfrac{g}{mol}$. Die Dichte von
Indiumarsenid beträgt $\rho_{InAs} = 5,7 \unitfrac{g}{cm^3}$.

\end{document}
