\documentclass[a4,paper]{article}

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\title{Protokoll zum Versuch
\glqq Stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld, Halleffekt\grqq}
\author{Kirstin Hübner \and Armin Burgmeier \and Gruppe 15}

\begin{document}
\maketitle

\section{Messung des magnetischen Feldes mit einer Feldplatte}

\subsection{Bestimmen der Erregerströme}

Wir haben die Feldplatte an die Stromquelle angeschlossen und die an der
Feldplatte abfallende Spannung gemessen. Die Stromstärke $I_{er}$ haben wir so
eingestellt, dass wir die gewünschten Magnetfeldstärken von
$0 \leq B \leq 1,4 \unit{T}$ in $0,1 \unit{T}$-Schritten (durch Ablesen der
zugehörigen Spannung $U_f$ auf der vorliegenden Eichkurve) erhielten. Im
folgenden haben wir nun $B$ über $I_{er}$ aufgetragen.

\includegraphics[scale=0.91]{erregerstrom.eps}

Auf dem Schaubild ist zu erkennen, dass der Zusammenhang bis zu einem
Spulenstrom von ca. $2 \unit{A}$ linear ist. Danach nimmt die Steigung der
Kurve sichtbar immer mehr ab. Dies kann man darauf zurückführen, dass die
Magnetisierung des Eisenkerns immer mehr zunimmt.

\subsection{Widerstand der Feldplatte}

Der Widerstand der Feldplatte ergibt sich zu

\begin{equation}
R_f\left(B\right) = R_V \frac{U_f}{U_0 - U_f}
\end{equation}
wobei $R_V = 25 \unit{k\Omega}$ der gegebene Vorwiderstand ist und aus der
Aufgabenstellung die Spannung $U_0 = 6,35 \unit{V}$ übernommen wurde, die an
die Feldplatte angelegt war. Trägt man den Widerstand gegen $B$ auf, ergibt
sich folgendes Schaubild:

\includegraphics[scale=0.91]{widerstand_feldplatte.eps}

Die Widerstandsänderung $\kappa$ bezüglich des feldfreien Falls ergibt sich
durch

\begin{displaymath}
\kappa = \frac{R_f\left(B\right) - R_f\left(0\right)}{R_f\left(0\right)}
\end{displaymath}
Tr"agt man diese Änderung gegen $B$ auf, so erh"alt man wieder eine
parabelf"ormige Kurve:

\includegraphics[scale=0.91]{relativer_widerstand_feldplatte.eps}

Wir können zwar nicht rechnerisch zeigen, dass der Zusammenhang wirklich
quadratisch ist, da jedoch alle Punkte sehr gut auf der Ausgleichskurve
liegen, können wir einen solchen Zusammenhang zumindest in dem von uns
gemessenen Bereich annehmen.

\section{Messungen an einer Metallhallsonde}

\subsection{Messung der Hallspannung}

\subsubsection{Bestimmung der Hallkonstante $R_H$ bei konstantem $I_S$}

Im ersten Teil haben wir bei konstantem Strom $I_S \approx 101,4 \unit{mA}$
das B-Feld variiert und die zugehörige Hallspannung gemessen. Gleichzeitig
haben wir die in Aufgabe 2.2 benötigte Spannung $U_r$ gemessen.

Als problematisch stellte sich heraus, dass der eingestellte Strom $I_S$
nicht konstant blieb sondern stetig gesunken ist. Wich er zu weit vom
angepeilten Wert $I_S \approx 101,4 \unit{mA}$ ab, so haben wir versucht
ihn nachzureglen um eine korrekte Messung zu gewährleisten. Es ergibt sich
folgendes Schaubild:

\includegraphics[scale=0.91]{hallgoldiconst.eps}

Wir können somit also die Linearität von $U_H \left(B\right)$ bestätigen. Der
Sprung zwischen dem Wert für $B = 1,1 \unit{T}$ und $B = 1,2 \unit{T}$ lässt
sich unter Umständen durch das Nachregeln des Stroms an dieser Stelle
begründen.

Wie in den Vorbereitungen hergeleitet kann die Hallkonstante aus der
Ausgleichsgeraden des jeweiligen Schaubilds ermittelt werden:

\begin{equation}
R_H = \frac{U_H}{B} \frac{d}{I} = m \frac{d}{I}
\end{equation}
mit der Geradensteigung $m$. Die lineare Regression wurde mit gnuplot
ausgeführt und ergibt $m = 0,088 \unitfrac{mV}{T}$. Damit ergibt sich
$R_H = 5,307 \cdot 10^{-11} \frac{m^3}{C}$. Nun müssen noch folgende
Fehler betrachtet werden:

\begin{enumerate}
\item Statistische Fehler

Für die gemessene Größe $m$ ergibt sich ein statisticher Fehler von
$\sigma_m = 0,00118 \unitfrac{mV}{T}$. Dieser pflanzt sich in $R_H$ wie
folgt fort:

\begin{equation}
m_{stat} = \sqrt{ \left(\frac{\partial R_H}{\partial m} \sigma_m\right)^2} =
0,071 \cdot 10^{-11} \unitfrac{m^3}{C}
\end{equation}

\item Systematische Fehler

Die Hallspannung $U_H$ haben wir auf einer Skala in $0,005 \unit{mV}$-Schritten
abgelesen, daher nehmen wir $\Delta U_H = 0,0025 \unit{mV}$ als Fehler an. Der
Fehler von der Dicke $d$ der Hallsonde ist zu $\Delta d = 3 \unit{nm}$ gegeben.
Aus der Vorbereitungshilfe entnahmen wir, dass das Messgerät für $I_S$ einen
Fehler von $1,5 \unit{\%}$ hatte. Bei einem Messbereich von $200 \unit{mA}$
ergibt sich $\Delta I_S = 3,0 \unit{mA}$.

Insgesamt ergibt sich damit ein systematischer Fehler von

\begin{equation}
m_{sys} = \sqrt{ \left(\frac{\partial R_H}{\partial d} \Delta d\right)^2 +
\left(\frac{\partial R_H}{\partial I_S} \Delta I_S\right)^2} =
0,305 \cdot 10^{-11} \unitfrac{m^3}{C}
\end{equation}

Die systematischen Fehler von $U_H$ und $B$ haben wir nicht in die Rechnung
einbezogen, da uns nicht bewusst war wie diese rechnerisch über die Regression
einzubinden sind.

Somit ergibt sich insgesamt die Hallkonstante zu

\begin{displaymath}
R_H = \left(5,307 \pm 0,071 \pm 0,305\right) \cdot 10^{-11} \unitfrac{m^3}{C}
\end{displaymath}

\end{enumerate}

Nun können wir die Konzentration freier Elektronen $n_{Au} = \frac{1}{R_H e}$
bestimmen. Es ergibt sich $n_{Au} = 1,178 \unitfrac{1}{m^3}$. Hier pflanzt sich
der statistische und systematische Fehler von $R_H$ fort. Es ergibt sich

\begin{displaymath}
n_{Au} = \left(1,178 \pm 0,016 \pm 0,068\right) \cdot 10^{29} \unitfrac{1}{m^3}
\end{displaymath}

Die mittlere Zahl freier Elektronen ist
$\zeta_{Au} = \frac{M_{au}}{\rho_{Au}} n_{Au} = 1,993$. Die Fehler
ergeben sich wieder durch Fortpflanzung, wobei wir für $M_{au}$ und
$\rho_{Au}$ keinen Fehler angenommen haben.

\begin{displaymath}
\zeta_{Au} = \left(1,993 \pm 0,027 \pm 0,115\right)
\end{displaymath}
Hiermit ergeben sich im Schnitt 2 freie Elektronen pro Goldatom.

\subsubsection{Bestimmung der Hallkonstante $R_H$ bei konstantem $B$}

Diesmal haben wir bei konstantem Magnetfeld $B = 1\unit{T}$ den Steuerstrom
$I_S$ ver"andert.

\includegraphics[scale=0.91]{hallgoldbconst.eps}

Erneut bestätigt sich die Proportionalität von $U_H$ zu $I_S$. Bei jeder
Änderung des Stroms $I_S$ mussten wir den elektrischen Geometrieabgleich der
Hallsonde erneut ausführen. Dazu mussten wir das Magnetfeld zwischen jeder
Messung komplett ausschalten und das Potentiometer so einstellen, dass das
Messgerät auch $U_H = 0 \unit{V}$ angezeigt hat. Anschließend haben wir das
Magnetfeld wieder auf $B = 1 \unit{T}$ eingestellt um die nächste Messung
durchzuführen. Daraus ergeben sich ungenauere Messwerte, da sowohl das
ständige Neueinstellen des Magnetfelds als auch der Abgleich des
Spannungsmessgerätes Fehlerquellen vermuten lassen.

Die Steigung des Schaubilds beträgt $m = 0,780 \cdot 10^{-3}\unitfrac{V}{A}$.
Damit ergibt sich

\begin{displaymath}
R_H = 4,758 \cdot 10^{-11} \unitfrac{m^3}{C}
\end{displaymath}

Genauer genommen ergeben sich folgende Fehler:

\begin{enumerate}
\item Statistische Fehler

Aus der Ausgleichsgeraden ergibt sich wieder ein statistischer Fehler für die
Steigung $\sigma_m = 9,593 \cdot 10{-6} \unitfrac{V}{A}$. Fehlerfortpflanzung
in $R_H$ führt zu

\begin{displaymath}
m_{stat} = 0,059 \cdot 10^{-11} \unitfrac{m^3}{C}
\end{displaymath}

\item Systematische Fehler

Beim Einstellen des Spulenstroms $I_{er}$ nehmen wir einen Fehler von
$\Delta I_{er} = 0,05 \unit{A}$ an. Dieser pflanzt sich in $B$ fort. Da wir
keine explizit gegebene Funktion $B \left(I_{er}\right)$ haben nehmen wir in
der Umgebung von $B = 1 \unit{T}$ einen linearen Zusammenhang an. Diesen haben
wir mit gnuplot zu $B(I_{er}) = 0.17 \unit{T} + 0.34 \unitfrac{T}{A} I_{er}$
bestimmt ($1,75 \unit{A} \leq I_{er} \leq 2,35 \unit{A}$). Hiermit können wir
den systematischen Fehler von $B$ bestimmen:

\begin{equation}
\Delta B = \sqrt { \left(\frac{\partial B}{\partial I_{er}} \Delta I_{er}\right)^2}
= 0,017 \unit{T}
\end{equation}

Analog zu unserer ersten Berechnung nehmen wir einen systematischen Fehler
für $\Delta d = 3 \unit{nm}$ an. Der systematische Fehler für $R_H$ ist dann

\begin{equation}
m_{sys} = \sqrt{ (\frac{\partial R_H}{\partial d} \Delta d)^2 +
(\frac{\partial R_H}{\Delta B})^2} = 0,248 \cdot 10^{-11} \unitfrac{m^3}{C}
\end{equation}

Insgesamt erhalten wir somit einen Wert von

\begin{displaymath}
R_H = \left(4,758 \pm 0,059 \pm 0,248\right) \cdot 10^{-11} \unitfrac{m^3}{C}
\end{displaymath}

Die Konzentration freier Elektronen ergibt sich analog zu

\begin{displaymath}
n_{Au} = \left(1,314 \pm 0,016 \pm 0,068\right) \cdot 10^{29} \unitfrac{1}{m^3}
\end{displaymath}
und die mittlere Zahl freier Elektronen zu

\begin{displaymath}
\zeta_{Au} = \left(2.223 \pm 0,027 \pm 0,115\right)
\end{displaymath}

\end{enumerate}

Die erste Messung weißt zwar größere Fehler auf, liegt aber näher am
Literaturwert von $R_H = 7,10 \cdot 10^{-11} \unitfrac{m^3}{C}$. Jedoch
überschneiden sich die Toleranzbereiche. Auffällig ist, dass beide Messungen
nicht in den Bereich des Literaturwerts kommen. Wir vermuten eine
signifikante systematische Fehlerquelle an mindestens einem Bauteil, die wir
jedoch nicht bestimmen können.

\subsection{Hallwiderstand und Elektronenbeweglichkeit}

Trägt man die gemessenene an der Hallsonde abfallende Spannung $U_r$ gegen
den angelegten Steuerstrom $I_S$ auf, so ergibt sich der Widerstand der
Hallsonde aus der Steigung der Ausgleichsgeraden.

\includegraphics[scale=0.91]{hallwiderstandgoldbconst.eps}

Die Steigung der Ausgleichsgeraden und damit der Hallwiderstand beträgt
$R = 2,263 \unit{\Omega}$. Der statistische Fehler ist
$m_{stat} = 0,003 \unit{\Omega}$. Wir nehmen einen systematischen Fehler
von $\Delta U_r = 30 \unit{mV}$ und $\Delta I_s = 3 \unit{mA}$ an, können
diese aber aus dem gleichen Grund wie oben nicht in $R$ fortpflanzen. Somit
erhalten wir

\begin{displaymath}
R = \left(2,263 \pm 0,003\right) \unit{\Omega}
\end{displaymath}

Die elektrische Leitfähigkeit ergibt sich zu

\begin{displaymath}
\sigma_{Au} = \frac{l}{R b d} = 23,342 \cdot 10^6 \unitfrac{1}{\Omega m}
\end{displaymath}

Der statistische Fehler in $\sigma_{Au}$ ergibt sich durch Fehlerfortpflanzung
von $R$. Die statistischen Fehler der anderen Größen sind nicht angegeben. Wir
finden $m_{stat} = 0,031 \cdot 10^6 \unitfrac{1}{\Omega m}$.

$b$ und $d$ haben den gleichen systematischen Fehler wie oben, der Fehler
von l beträgt $\Delta l = 0,1 \unit{mm}$. Somit ergibt sich der systematische
Fehler von zu $m_{sys} = 1,177 \cdot 10^6 \unitfrac{1}{\Omega m}$. Unser
gemessener Wert ist somit

\begin{displaymath}
\sigma_{Au} = \left(23,342 \pm 0,031 \pm 1,177\right) \cdot 10^6 \unitfrac{1}{\Omega m}
\end{displaymath}

Für die Elektronenbeweglichkeit $\mu_{Au} = \sigma_{Au} R_H$ verwenden wir
den $R_H$-Wert aus der Messung mit konstantem $B$-Feld, da wir auch bei der
Bestimmung $\sigma_{Au}$ von konstantem $B$-Feld ausgegangen sind. Damit
ergibt sich

\begin{displaymath}
\mu_{Au} = \left(1,111 \pm 0,001 \pm 0,008 \right) \cdot 10^{-3} \unitfrac{m^2}{\Omega C}
\end{displaymath}

Verändern wir bei konstantem Steuerstrom $I_S$ das Magnetfeld $B$, so ergibt
sich ein relativ konstanter Widerstand $R$.

\includegraphics[scale=0.91]{hallwiderstandgoldiconst.eps}

Da das Magnetfeld den Weg den die Elektronen zurücklegen so gut wie nicht
verlängert erhöht sich auch der ohmsche Widerstand nicht (anders als bei der
Feldplatte). Unsere Messung repräsentiert diesen Sachverhalt, da die Steigung
der Geraden mit $m = 9,25 \cdot 10^{-3} \unitfrac{\Omega}{T}$
verschwindend gering ist.

\section{Messungen an einer Halbleiterhallsonde}

\subsection{Messung der Hallspannung}

\subsubsection{Bestimmung der Hallkonstante $R_H$ bei konstantem $I_S$}

Analog zu Aufgabe 2.1 haben wir nun mit einer Halbleiterhallsonde bei festem
Strom $I_S \approx 20,5 \unit{mA}$ das Magnetfeld $B$ variiert und die Hallspannung
$U_H$ gemessen. Trägt man nun $U_H$ über $B$ auf, so erhält man folgendes
Schaubild:

\includegraphics[scale=0.91]{hallinasiconst.eps}

Man kann also erkennen, dass es auch bei der InAs-Hallsonde einen linearen
Zusammenhang zwischen $B$ und $U_H$ gibt.

Die Hallkonstante ergibt sich wieder aus der Steigung $m$ der
Ausgleichsgeraden zu $R_H = 1,796 \cdot 10^{-5} \unitfrac{m^3}{C}$. Für die
Fehler betrachten wir wieder:

\begin{enumerate}
\item Statistische Fehler

Für die gemessene Größe $m$ ergibt sich ein statisticher Fehler von
$\sigma_m = 1,916 \unitfrac{mV}{T}$. Dieser pflanzt sich in $R_H$ wie
oben fort:

\begin{equation}
m_{stat} = \sqrt{ \left(\frac{\partial R_H}{\partial m} \sigma_m\right)^2} =
0,023 \cdot 10^{-5} \unitfrac{m^3}{C}
\end{equation}

\item Systematische Fehler

Der Fehler von der Dicke $d$ der Hallsonde ist zu $\Delta d = 0,5 \unit{\mu m}$
gegeben. Das Messgerät für $I_S$ hat einen Fehler $\Delta I_S = 3,0 \unit{mA}$.

Insgesamt ergibt sich damit ein systematischer Fehler von

\begin{equation}
m_{sys} = \sqrt{ \left(\frac{\partial R_H}{\partial d} \Delta d\right)^2 +
\left(\frac{\partial R_H}{\partial I_S} \Delta I_S\right)^2} =
0,450 \cdot 10^{-5} \unitfrac{m^3}{C}
\end{equation}

Somit ergibt sich insgesamt die Hallkonstante zu

\begin{displaymath}
R_H = \left(1,916 \pm 0,023 \pm 0,450\right) \cdot 10^{-5} \unitfrac{m^3}{C}
\end{displaymath}

\end{enumerate}

Die Konzentration freier Elektronen ergibt sich also zu
$n_{InAs} = 3,262 \cdot 10^{23} \unit{1}{m^3}$. Der Fehler folgt aus
Fehlerfortpflannzung von $R_H$:

\begin{displaymath}
n_{InAs} = \left(3,262 \pm 0,039 \pm 0,766\right) \cdot 10^{23} \frac{1}{m^3}
\end{displaymath}

Im Vergleich mit Aufgabe 2.1 stellen wir fest, dass die
Ladungstr"agerkonzentration im Halbleiter deutlich geringer ist als im Metall.
Dies war zu erwarten, da der Halbleiter schlechter leitet als Gold.

Die Hallkonstante $R_H$ ist proportional zum Kehrwert der Ladungstr"agerdichte
und daher im Halbleiter deutlich gr"o"ser.

\subsubsection{Bestimmung der Hallkonstante $R_H$ bei konstantem $B$}

Auch hier haben wir analog zu Aufgabe 2.1 $U_H$ über $I_S$ aufgetragen wobei
$B = 1 \unit{T}$ konstant war.

\includegraphics[scale=0.91]{hallinasbconst.eps}

Aus der Geradensteigung $m = 7.879 \unitfrac{V}{A}$ folgt die Hallkonstante
$R_H =  1,970 \cdot 10^{-5} \frac{m^3}{C}$. Die Fehler ergeben sich aus
statistischem Fehler der linearen Regression und den systematischen
Fehlern mit $\Delta d = 0,5 \unit{\mu m}$ und $\Delta B = 0,017 \unit{T}$.
Insgesamt erhalten wir

\begin{displaymath}
R_H = \left(1,970 \pm 0,003 \pm 0,395 \right) \cdot 10^{-5} \unitfrac{m^3}{C}
\end{displaymath}

Die Ladungsträgerkonzentration berechnet sich damit zu
$n_{InAs} = 3,173 \cdot 10^{23} \unitfrac{1}{m^3}$. Unter Berücksichtigung der
Fehler von $R_H$ kommen wir damit zu

\begin{displaymath}
n_{InAs} = \left(3,173 \pm 0,005 \pm 0,636\right) \cdot 10^{23} \unitfrac{1}{m^3}
\end{displaymath}

\subsection{Abhängigkeit des Hallwiderstands vom Magnetfeld}

Wie in Aufgabe 1.2 und 2.2 haben wir die Abhängigkeit des Widerstandes der
Hallsonde vom Magnetfeld betrachtet. Dazu haben wir einen konstanten Strom
$I_S = 20,5 \unit{mA}$ an die Hallsonde angelegt und das B-Feld variiert.
Trägt man nun den aus den Messungen folgenden Widerstand über B auf, so
ergibt sich folgendes Bild:

\includegraphics[scale=0.91]{hallwiderstandinasiconst.eps}

Leider ist die Abhängigkeit nicht eindeutig zu erkennen. Da die Punkte bei
niedrigen Feldstärken eine deutlich niedrigere Steigung ausweisen als bei
höheren haben wir uns für eine Ausgleichsparabel entschlossen.

Interessant ist nun, die Ergebnisse der einzelnen Messungen zu vergleichen.
Bei den Messungen der Feldplatte erhielten wir in diesem Zusammenhang eine
parabelförmige Kurve, wobei wir für die Goldhallsonde eine nahezu konstante
Funktion erhielten. Man kann also deutlich sehen, dass die Stärke der
Beeinflussung durch das Magnetfeld von den Eigenschaften des gemessenen
Objekts abhängt. Bei der Halbleiterhallsonde ergibt sich auch ein vom
Magnetfeld abhängiger Widerstand, jedoch deutlich weniger stark ausgeprägt als
bei der Feldplatte.

Trägt man die relative Widerstandsänderung gegenüber dem feldfreien Fall über
$B$ auf, so kann man folgendes beobachten:

\includegraphics[scale=0.91]{hallrelativerwiderstandinasiconst.eps}

Die Widerstandsänderung fällt geringer aus als bei der Feldplatte, zeigt
jedoch einen ähnlichen Verlauf. Dies war nach den vorherigen Beobachtungen
zu erwarten, denn der Widerstand der Hallsonde steigt von $44 \unit{\Omega}$
auf lediglich $60 \unit{\Omega}$ bei $1,4 \unit{T}$ an, wohingegen der der
Feldplatte von etwa $100 \unit{\Omega}$ auf $1100 \unit{\Omega}$ ansteigt.

Zur Berechnung der Elektronenbeweglichkeit ermitteln wir zunächst den
Widerstand der Hallsonde bei konstantem Magnetfeld indem wir $U$ über $I$
auftragen und aus der Steigung der Ausgleichsgeraden den Widerstand ablesen.

\includegraphics[scale=0.91]{hallwiderstandinasbconst.eps}

Der Widerstand ergibt sich zu $R = 53,101 \unit{\Omega}$. Berücksichtigt man
den statistischen Fehler, so erhalten wir

\begin{displaymath}
R = \left(53,101 \pm 0,421\right) \unit{\Omega}
\end{displaymath}

Die Leitfähigkeit $\sigma_{InAs}$ ergibt sich damit zu
$\sigma_{InAs} = 1,507 \cdot 10^{4} \unitfrac{1}{\Omega m}$. Den statistischen
Fehler erhalten wir aus Fehlerfortpflanzung des Fehlers von $R$, die
systematischen Fehler der drei anderen Größen waren mit
$\Delta d = 0,5 \unit{\mu m}$, $\Delta b = 0,05 \unit{mm}$ und
$\Delta l = 0,05 \unit{mm}$ gegeben.

\begin{displaymath}
\sigma_{InAs} = \left(1,507 \pm 0,012 \pm 0,306\right) \cdot 10^{4} \unitfrac{1}{\Omega m}
\end{displaymath}
Für die Elektronenbeweglichkeit finden wir
$\mu_{InAs} = \sigma_{InAs} R_H = 0,297 \unitfrac{m^2}{\Omega C}$.
Ber"ucksichtigt man die Fehler von $R_H$ und $\sigma_{InAs}$, so erhalten
wir

\begin{displaymath}
\mu_{InAs} = \left(0,297 \pm 0,002 \pm 0,085\right) \unitfrac{m^2}{\Omega C}
\end{displaymath}

Die Elektronenbeweglichkeit ist somit im Halbleiter signifikant größer als
im Metall. Da jedoch die Ladungsträgerdichte im Gold wesentlich höher ist,
bleibt dieser der bessere Leiter.

\section{Fazit}

Es war sehr interessant die verschiedenen Abhängigkeiten der Hallspannungen
vom Magnetfeld und vom Steuerstrom zu beobachten. Besonders einprägsam fanden
wir die Feldplatte als magnetfeldabhängiger Widerstand. Bei der Fehlerrechnung
ist uns aufgefallen, dass die systematischen Fehler gegenüber den
statistischen Fehlern überwiegen. Wir haben also genügend Messwerte
aufgenommen. Um eine noch genauere Messung zu erhalten sind daher bessere
Versuchsbedingungen anzustreben.

\end{document}
