\documentclass[a4,paper]{article}

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\title{Vorbereitung zum Versuch \glqq elektrische Messverfahren\grqq}
\author{Armin Burgmeier (1347488) \and Gruppe 15}
\date{2. Dezember 2007}

\begin{document}
\maketitle

\section{Messungen an Widerständen}

\subsection{Innenwiderstand eines $\mu A$-Multizets}

Die Schaltung wird nach Schaltbild 1 (siehe Anhang) aufgebaut. Das
Potentiometer $R_2$ wird so eingestellt, dass das Strommessgerät genau
$1 \unit{mA}$ anzeigt. Dann wird ein Spannungsmessgerät dazu parallel
geschalten. Mit den gemessenen Werten $I_I$ für Strom und $U$ der Spannung
ergibt sich der Innenwiderstand $R_I$ des Strommessgeräts zu

\begin{equation}
R_I = \frac{U}{I_I}
\end{equation}

\subsection{Innenwiderstand des $AV\Omega$-Multizets}

Der Strom durch das Spannungsmessgerät ergibt sich gemäß der
Kirchhoffschen Regeln zu $I_U = I_{ges} - I$, wobei $I_{ges}$ den zuvor
eingestellten $1 \unit{mA}$ entspricht. Unter der Annahme dass sich durch
Parallelschalten des Spannungsmessgerätes der Gesamtstrom nur unwesentlich
ändert ergibt sich daraus sofort der Innenwiderstand des Spannungsmessgerätes:

\begin{equation}
R_U = \frac{U}{I_{ges} - I}
\end{equation}

Einen besseren Wert für den Innenwiderstand erhält man nun iterativ. Für den
Gesamtwiderstand des Stromkreises gilt

\begin{equation}
R_{ges} = R_1 + R_2 + \frac{1}{\frac{1}{R_I} + \frac{1}{R_U}}
\end{equation}
Andererseits muss für den gesamten Strom im Stromkreis

\begin{equation}
I_{ges} = \frac{U_{ges}}{R_{ges}}
\end{equation}
gelten wenn $U_{ges} = 6 \unit{V}$ die angelegte Spannung ist. Dann ergibt
sich aber wieder ein neuer Wert für den Widerstand des Spannungsmessgerätes:

\begin{equation}
R_U = \frac{U}{I_{ges} - I}
\end{equation}

\subsection{Bestimmen eines unbekannten Widerstands}

Die Schaltung wird nach Schaltbild 2 aufgebaut. In Variante (1) wird eine
spannungsrichtige und in Variante (2) eine stromrichtige Messung durchgeführt.
Der Widerstand ergibt sich dann wieder nach dem ohmschen Gesetz, wobei bei
der stromrichtigen Messung der Innenwiderstand des Strommessgerätes und
bei der spannungsrichtigen Messung der Innenwiderstand des
Spannungsmessgerätes zu berücksichtigen sind.

Da ein Strommessgerät in Reihe geschaltet wird wünscht man sich dafür einen
möglichst kleinen Widerstand (idealerweise 0). Ein Spannungsmessgerät sollte
einen möglichst großen Widerstand haben (idealerweise unendlich), damit es
die Stromstärke im Stromkreis ohne Messgerät nicht beeinflusst.

\subsection{Wheatstonesche Brückenschaltung}

Die Brückenschaltung wird nach Schaltbild 3 aufgebaut.
$R_V = 220 \unit{\Omega}$ ist der Strombegrenzungswiderstand. Das Potentiometer
$R_3$ wird so eingestellt, dass das Spannungsmessgerät $V = 0 \unit{V}$
anzeigt. Dann fließt dort kein Querstrom und es gilt $I_2 = I_3$ und
$I_1 = I_4$. Nach der Maschenregel gelten dann:

\begin{eqnarray}
I_2 R_2 - R_3 I_1 &=& 0 \\
I_2 R_1 - R_x I_1 &=& 0
\end{eqnarray}
Löst man eine Gleichung nach $I_1$ auf und setzt sie in die andere ein
erhält man den gesuchten Widerstand

\begin{equation}
R_x = \frac{R_3 R_1}{R_2}
\end{equation}

Der Vorteil dieser Methode ist, dass sie unabhängig von der angelegten
Spannung und dem fließenden Strom ist. Man muss lediglich die Nulljustierung
vornehmen und die Widerstände $R_1$, $R_2$ und $R_3$ möglichst genau kennen.

\subsection{Widerstandsmessgerät}
\label{prob:no1.5}

Das Messgerät legt eine konstante Spannung an den Widerstand an und zeigt
einen Ausschlag $\alpha$ proportional zum Stromfluss. Aus dem ohmschen Gesetz
$R = \frac{U}{I}$ ergibt sich der Widerstand also antiproportional zum
Ausschlag $\alpha$. Legt man einen konstanten Strom an und misst die Spannung,
so erreicht man ein Messgerät mit linearer Skala.

\subsection{Urspannung einer Trockenbatterie}

In Schaltung 4 wird $U_H$ so eingestellt, dass das Spannungsmessgerät wieder
keine Potentialdifferenz, also $U = 0 \unit{V}$ anzeigt. In dem Fall sind
$U_H$ und $U_0$ gleich. Zu Beachten ist hier, dass $U_0$ und $U_H$
umgekehrt gepolt sein müssen. Da bei der Messung kein Strom fließt braucht
man den Innenwiderstand nicht zu berücksichtigen.

\subsection{Innenwiderstand der Trockenbatterie}

Zu Schaltung 4 wird ein bekannter Lastwiderstand $R$ zur Batterie
parallelgeschaltet. Nun fließt ein Strom und es fällt daher eine Spannung am
Innenwiderstand $R_i$ der Batterie ab. Auch das Messgerät zeigt eine Spannung
$\Delta U > 0$ an. Für den Strom gilt

\begin{equation}
I = \frac{U_R}{R}
\end{equation}
wobei $U_R$ die am Widerstand abfallende Spannung ist. Die Gesamtspannung der
Batterie setzt sich aus der am Lastwiderstand und der am Innenwiderstand
abfallenden zusammen:

\begin{equation}
U_0 = U_R + I R_i
\end{equation}
Das Messgerät zeigt den Unterschied $\Delta U$ zwischen vorheriger (ohne
Last) und jetziger Batteriespannung an:

\begin{equation}
\Delta U = U_0 - U_R
\end{equation}
Einsetzen und Auflösen nach $R_i$ liefert

\begin{equation}
R_i = \frac{\Delta U}{U_0 - \Delta U}
\end{equation}
wobei $U_0$ und $\Delta U$ bekannte Größen sind.

\section{Messungen an Spule und Kondensator}

\subsection{Gleichstromwiderstand einer Spule}

Die Messung wird wie in \ref{prob:no1.5} durchgeführt, wobei der Widerstand
durch die Spule ersetzt wird.

\subsection{Bestimmung von Induktivität und Verlustwiderstand}

Die Schaltung wird nach Schaltskizze 5 aufgebaut. Zu beachten ist, dass je ein
Anschluss des Sinusgenerators und des Millivoltmeters geerdet ist, somit
müssen die Spannungen an Spule und Widerstand in getrennten Schaltungen
gemessen werden. Für die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung gilt
(aus Zeigerdiagramm für die Einzelspannungen ersichtlich):

\begin{equation}
\label{eqno:1}
\cos\left(\varphi\right) = \frac{U_G^2 + U_W^2 - U_S^2}{2 U_G U_W} =
\frac{U_W + R I}{U_G}
\end{equation}
$I$ ist der durch die Schaltung fließende Strom. Die anderen
Bezeichnungen sind in der Schaltskizze im Anhang eingetragen. Für den Strom
gilt nach dem ohmschen Gesetz am Widerstand

\begin{equation}
I = \frac{U_W}{R_0}
\end{equation}
Setzt man dies in Gleichung \ref{eqno:1} ein und löst nach $R$ auf, so findet
man den Verlustwiderstand der Spule

\begin{equation}
R = \frac{U_G^2 - U_W^2 - U_S^2}{2 U_W^2} R_0
\end{equation}

An der Spule gilt
\begin{equation}
I = \frac{U_S}{\sqrt{R^2 + \omega^2L^2}}
\end{equation}
mit dem Scheinwiderstand $\sqrt{R^2 + \omega^2L^2}$. Setzt man $I$ ein und
löst nach $L$ auf findet man auch die Induktivität

\begin{equation}
L = \frac{\sqrt{U_S^2R_0^2 - R^2U_W^2}}{\omega U_W}
\end{equation}

\subsection{Parallelschwingkreis}

Spule und Kondensator werden wie in der Vorbereitungshilfe beschrieben
über einen Vorwiderstand zur Spannungsquelle parallelgeschaltet. Die
Resonanzfrequenz $\omega_0$ ist die Frequenz, bei der sich der Blindwiderstand
von Kondensator und Spule aufheben:

\begin{equation}
\omega_0 L - \frac{1}{\omega_0 C} = 0
\end{equation}
Anders ausgedrückt wird der Scheinwiderstand

\begin{equation}
Z = \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2}
\end{equation}
minimal. Dann wird aber die am Schwingkreis anliegende Spannung maximal.
Durch Messen und Auftragen dieser Spannung über der Frequenz können wir so
die Resonanzfrequenz $\omega_0$ ermitteln.

Der Resonanzwiderstand $R_r$ ergibt sich aus der Spannung $U_r$ am Schwingkreis
bei Resonanzfrequenz und dem als konstant angenommenen Strom $I$ welcher sich
mit dem Vorwiderstand $R_V$ zu $I = \frac{U_0}{R_V}$ errechnet, wobei $U_0$ die
angelegte Spannung an der Spannungsquelle ist.

\begin{equation}
R_r = \frac{U_r}{U_0} R_V
\end{equation}

Die benötigten Beziehungen um $R$, $L$ und $C$ auszurechnen wurden bereits in
der Vorbereitungshilfe hergeleitet. Sie lauten:

\begin{eqnarray}
C &=& \frac{\sqrt{3}}{\Delta \omega R_r} \\
L &=& \frac{1}{\omega_0^2 C} \\
R &=& \frac{\Delta \omega L}{\sqrt{3}}
\end{eqnarray}

\subsection{Messung der Wechselstromwiderstände von $L$ und $C$}

In die Schaltung werden diesmal nacheinander Kondensator und Spule eingebaut.
Den Widerstand $R$ erhalten wir wieder durch Messen der Spannung $U$ am jeweiligen
Bauteil zu $R = \frac{U}{U_0} R_V$. Den Verlustwiderstand der Spule können wir
vernachlässigen, da wegen der höheren Frequenz der Blindwiderstand der Spule
überwiegt. Aus den Gleichungen

\begin{eqnarray}
\frac{U}{I} &=& \omega_0 L \\
\frac{U}{I} &=& \frac{1}{\omega_0 C}
\end{eqnarray}
ergeben sich die gesuchten Größen.

\subsection{Innenwiderstand des Sinusgenerators}

Die Schaltung wird wie in Schaltbild 6 im Anhang aufgebaut. $R_i$ ist dabei
der Innenwiderstand der Spannungsquelle. Es wird eine beliebige
Leerlaufspannung $U_0$ gewählt und das Potentiometer $R$ so eingestellt,
dass diese auf die Hälfte abfällt. In diesem Fall entspricht der am
Potentiometer eingestellte Widerstand dem Innenwiderstand.

Für die elektrische Leistung gilt
\begin{equation}
P = U I = R I^2
\end{equation}
Bei der Bestimmung der Leistung wird der Innenwiderstand dabei nicht
berücksichtigt, denn dieser trägt nicht zur Leistung bei. Für den Strom $I$
gilt jedoch

\begin{equation}
I = \frac{U_0}{R + R_i}
\end{equation}
woraus für die Leistung

\begin{equation}
P = R \frac{U_0^2}{\left(R + R_i\right)^2}
\end{equation}
folgt. Differenziert man nach $R$ folgt für den Extrempunkt der Leistung

\begin{equation}
R = R_i
\end{equation}
Die maximale Leistung beträgt also

\begin{equation}
P_{max} = \frac{U_0^2}{4 R_i}
\end{equation}

\end{document}
