\documentclass[a4,paper]{article}

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\title{Vorbereitung zum Versuch \glqq Transistorschaltungen\grqq}
\author{Armin Burgmeier (1347488) \and Gruppe 15}
\date{9. Dezember 2007}

\begin{document}
\maketitle

\setcounter{section}{-1}
\section{Grundlagen}

\subsection{Halbleiter}

Halbleiter bestehen aus Silizium- oder Germanium-Gittern und haben im
allgemeinen eine schlechte Leitfähigkeit. Durch Ersetzen einiger Gitteratome
(Dotieren) mit fünfwertigen Atomen (Phosphor, Arsen) kann sie
jedoch erheblich gesteigert werden. Die überschüssigen Elektronen fungieren
dann als Ladungsträger, daher nennt man sie auch n-Halbleiter.

Dotiert man mit dreiwertigen Atomen (Bor, Indium) vergrößert sich die
Leitfähigkeit ebenfalls. Elektrone anderer Atome können in die Elektronenlücke
(Löcher) der dreiwertigen Atome eintreten. Dieses Wandern der Löcher kann man
sich als freibewegliche positive Ladungsträger vorstellen (p-Halbleiter).

\subsection{Halbleiterdiode}

Grenzt ein n-Halbleiter an einen p-Halbleiter an, so findet ein
Diffundierungsprozess statt. Freie Elektronen aus dem n-Halbleiter geraten in
den p-Halbleiter und Löcher in den n-Halbleiter. Da die festen Ladungsträger
ortsfest sind baut sich so eine Spannung auf, die ab einer bestimmten Größe
die Diffusion kompensiert.

Legt man eine äußere Spannung mit dem Pluspol am n-Halbleiter an, so ist die
Diode in Sperrrichtung geschaltet. Es werden weitere freie Elektronen vom
n-Bereich in den p-Bereich übergehen und dort weitere Löcher kompensieren.
Es fließt praktisch kein Strom.

Legt man die äußere Spannung aber anders herum an, so werden die Elektronen
durch die Grenzschicht beschleunigt und es fließt ein Strom, dessen Stärke von
der angelegten Spannung abhängt.

\subsection{Transistor}

Da im Versuch nur der npn-Transistor zum Einsatz kommt, wird hier auch nur
dieser beschrieben. Er besteht aus jeweils einer Schicht aus n-, p- und n-Halbleiter,
also zwei Grenzflächen. Liegt eine externe Spannung an den beiden n-Schichten
an, so ist einer der beiden Grenzflächen leitend und die andere nicht.
Folglich wird also auch kein Strom fließen.

Legt man jedoch einen Strom an der Basis (p-Schicht) an, so fließt dieser
wegen der leitenden Grenzfläche zwischen Basis und Kollektor. Da die p-Schicht
sehr dünn ist diffundieren einige der Elektronen aus denen dieser Strom
besteht aber in die Sperrschicht. Da nun Ladungsträger in der
Sperrschicht vorhanden sind kann zwischen den n-Schichten plötzlich wegen
der externen Spannung ein Strom fließen, der im allgemeinen sehr viel
größer ist als der Basisstrom.

Auf diese Art und Weise können durch kleine Ströme an der Basis
sehr viel größere zwischen Kollektor und Emitter gesteuert werden.

\section{Kennlinien}

\subsection{Eingangskennlinie}

In der nach Schaltung 13 in der Vorbereitungshilfe aufgebauten Schaltung
messen wir verschiedene Wertepaare für den Basisstrom $I_B$ und für die
Spannung zwischen Basis und Emitter $U_{BE}$. Die sich ergebende
Eingangskennlinie (U über I) wird in den dritten Quadranten eines
Vier-Quadranten-Kennlinienfeldes eingetragen.

Das Spannungsmessgerät sollte möglichst hochohmig sein, da eine
spannungsrichtige Messung vorgenommen wird und der gemessene Strom daher
nicht stark von dem \glqq echten\grqq Basisstrom abweichen soll.

\subsection{Ausgangskennlinien}

Die Ausgangskennlinie stellen wir an einem Oszilloskop im X/Y-Betrieb dar.
Dazu wird die Schaltung wie in Bild 14 der Vorbereitungshilfe aufgebaut. Als
Maß für die Stromstärke am Kollektor wird die abfallende Spannung $U_Y$ an
einem konstanten Widerstand $R = 2 \unit{\Omega}$ verwendet.

Aus technischen Gründen kann als X-Ablenkung nicht die Spannung $U_{CE}$
zwischen Kollektor und Emitter verwendet werden, sondern es wird $U_{CE} + U_Y$
gemessen. Da der Widerstand $R$ jedoch sehr klein ist, wird aber $U_Y$ klein
und somit vernachlässigbar gegenüber $U_{CE}$ sein. Vor dem Experiment kann
dies auch nochmal nachgemessen werden.

Da die Ausgangskennlinien abhängig vom Basisstrom sind, sollen mehrere
Kennlinien bei unterschiedlichen Basisströmen aufgenommen werden. Der
Basisstrom ist durch einen regelbaren Widerstand bestimmbar und wird so
eingestellt, dass der Kollektorstrom $I_C$ Werte von $10 \unit{mA}$ bis
$50 \unit{mA}$ erreicht, in $10 \unit{mA}$-Schritten. Die Kennlinien werden
in den ersten Quadranten eingetragen.

\subsection{Steuerkennlinie}

Wir tragen $I_C$ über $I_B$ in den zweiten Quadranten des Kennlinienfeldes
auf. Die nötigen Messwerte wurden bereits ermittelt.

\section{Überlagerungstheorem}

Das Überlagerungstheorem besagt dass in einer Schaltung mit mehreren
Spannungsquellen die Spannung über zwei beliebigen Punkten die gleiche ist
wie die Summe der Spannungen an diesen Punkten wenn jeweils nur eine
der Spannungsquellen aktiviert ist. Dabei ist jeweils der Innenwiderstand
nicht aktiver Spannungsquellen zu berücksichtigen.

In diesem Teil des Versuchs wollen wir das Überlagerungstheorem experimentell
überprüfen. Dazu verwenden wir Schaltung 15 aus der Vorbereitungshilfe und
messen die Spannung $U_3$ über $R_3 = 330 \unit{\Omega}$ mit einer, der anderen
und zwei aktiven Spannungsquellen. Für die Spannung $U_3^{Gl}$, bei der nur
die Gleichstromquelle aktiv ist, erwarten wir folgenden Wert:

Der Widerstand im gesamten Stromkreis ergibt sich aus einer Reihenschaltung
von $R_2$ und einer Parallelschaltung von $R_3$ und $R_1^\prime$. Zu Beachten ist,
dass zu dem Widerstand $R_1$ noch der Innenwiderstand $R_i$ der deaktivierten
Spannungsquelle hinzukommt: $R_1^\prime = R_1 + R_i$. 

\begin{equation}
R_{ges}^{Gl} = \frac{1}{\frac{1}{R_1 + R_i} + \frac{1}{R_3}} + R_2
\end{equation}
Die verschiedenen Widerstandswerte sind gegeben.

Der Gesamtstrom im Stromkreis, welcher dem Strom durch den Widerstand $R_2$
entspricht, ergibt sich dann nach dem ohmschen Gesetz zu

\begin{equation}
I = \frac{U_{Gl}}{R_{ges}^{Gl}}
\end{equation}
wobei $U$ die an der Gleichstromquelle angelegte Spannung ist. Den Teil
dieser Spannung, der am Widerstand $R_2$ abfällt lässt sich ebenfalls
nach dem ohmschen Gesetz ermitteln

\begin{equation}
U_{R_2} = I R_2 = \frac{U_{Gl}}{R_{ges}^{Gl}} R_2
\end{equation}
und nach der Maschenregel findet man damit leicht die gesuchte, am
Widerstand $R_3$ abfallende Spannung

\begin{equation}
U_{R_3}^{Gl} = U_{Gl} - U_{R_2} = U_{Gl} - \frac{U_{Gl}}{R_{ges}^{Gl}} R_2
\end{equation}

Nach dem gleichen Verfahren kann man die Spannung an $R_3$ für den
umgekehrten Fall ermitteln, das heißt wenn die Gleichspannungsquelle
abgeschaltet und die Rechteckspannung angelegt ist. Es ergibt sich

\begin{equation}
U_{R_3}^{Re} = U_{Re} - \frac{U_{Re}}{R_{ges}^{Re}} R_{1}
\end{equation}
mit

\begin{equation}
R_{ges}^{Re} = \frac{1}{\frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3}} + R_1
\end{equation}

Sind beide Spannungsquellen aktiviert müsste sich laut dem Überlagerungstheorem
also ein Wert von $U_{3} = U_{R_3}^{Re} + U_{R_3}^{Gl}$ ergeben. Setzt man
die gegebenen Zahlenwerte und berücksichtigt, dass $U_{Re}$ eine
Rechtecksspannung, also sowohl negativ als auch positiv sein kann, so erhalten
wir:

\begin{displaymath}
U_{3} = 1,72 \unit {V} \pm 1,70 \unit{V}
\end{displaymath}

\section{Transistorschaltungen}

\subsection{Transistor als Schalter}

\subsubsection{Beschreibung des Transistors als Schalter}

Will man den Transistor als Schalter benutzen, so nutzt man aus, dass er bei
kleinen Basisströmen einen großen Kollektor/Emitter-Strom durchschaltet und
bei gar keinem Basisstrom sperrt. Trägt man die sogenannte Arbeitsgerade

\begin{equation}
U_{CE} = U - I_C R_C
\end{equation}
mit der Betriebsspannung $U$ und dem Verbraucherwiderstand $R_C$ in das
Ausgangskennlinienfeld ein, so sind die Schnittpunkte mit den Kennlinien die
Arbeitspunkte. Abbildung \ref{fig:1} zeigt für $U = 12 \unit{V}$ und
$R_C = 25 \unit{\Omega}$ die Arbeitsgerade und zwei exemplarische Kennlinien
für hohen und niedrigen Basisstrom.

\begin{figure}
\label{fig:1}
\includegraphics[scale=0.91]{arbeitsgerade.eps}
\caption{Arbeitsgerade und Leistungshyperbel}
\end{figure}

Es ist deutlich zu sehen dass der Arbeitspunkt bei niedrigen Basisströmen
nahe bei $I_C = 0 \unit{A}$ liegt, es fließt also nur sehr wenig Strom. Bei
einem (relativ) hohen Basisstrom hingegen liegt er bei
$I_C \approx \frac{U}{R_C}$.

Die Maximalleistung des Transistors beträgt $0,8 \unit{W}$, die elektrische
Leistung am Transistor ist $U_{CE} I_C$. Auch diese Kurve ist im oben erwähnten
Diagramm aufgetragen. Im Normalfall sollte die Arbeitsgerade die so enstehende
Hyperbel nicht schneiden, da sonst bei ungünstig gewählten Arbeitspunkten
eine größere elektrische Leistung ensteht als der Transistor verkraftet, was
zu dessen Zerstörung führen kann. Da wir aber nur Arbeitspunkte nahe
$I_{C} = 0$ und $U_{CE} = 0$ wählen geraten wir nicht oder nur sehr kurz
in diesen kritischen Bereich.

\subsubsection{Schaltung und Verlustleistung}

Eine Spannungsquelle wird über einen Widerstand $R_V$ an Kollektor und Basis
des Transistors angeschlossen und bestimmt den Basisstrom. Der Verbraucher
(eine Glühbirne) wird an eine zweite Spannungsquelle $U$ und den Kollektor des
Transistors in Reihe geschaltet (Schaltung 1 im Anhang).

Aus den gemessenen Werten von Strom $I_C$ und Spannung $U_{CE}$ können wir
bei verschiedenen Basisvorwiderständen $R_V$ die Verlustleistung des
Transistors berechnen.

\subsection{Verstärker in Emitterschaltung}

\subsubsection{Arbeitspunkt}

Die Schaltung wird nach Bild 2 in der Vorbereitungshilfe aufgebaut. Durch
Verändern des Basisvorwiderstands $R_V$ kann der Arbeitspunkt verändert werden.
Er soll so eingestellt werden, dass die Hälfte der Betriebsspannung
$U = 6 \unit{V}$ am Transistor und die andere Hälfte am Kollektorwiderstand
abfällt.

\subsubsection{Arbeitsgerade und Transistorkenngrößen}

Die Arbeitsgerade $U_{CE} = U - I_C R_C$ (bei einem Verbraucher mit Widerstand
$R_C$) kann durch zwei bekannte Punkte (wie zum Beispiel bei $I_C = 0$ und
$U_{CE} = 0$) direkt ins Kennlinienfeld eingetragen werden. Der Arbeitspunkt
liegt bei $U_{CE} = 6 \unit{V}$ auf der Geraden. Die geforderten
Transistorkenngrößen lassen sich wie folgt aus dem Kennlinienfeld am
Arbeitspunkt entnehmen:

\begin{itemize}
\item Stromverstärkungsfaktor $\beta$

Der Stromverstärkungsfaktor $\beta = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B}$ wird
dem zweiten Quadranten des Vier-Quadranten-Kennlinienfeldes entnommen.

\item dynamischer Basis-Emitter-Widerstand $r_B$

Der dynamische Basis-Emitter-Widerstand $r_B = \frac{\Delta U_{BE}}{\Delta I_B}$
entspricht der Steigung der Eingangskennlinie im dritten Quadranten.

\item dynamischer Kollektor-Emitter-Widerstand $r_C$

Der dynamische Kollektor-Emitter-Widerstand
$r_C = \frac{\Delta U_{CE}}{\Delta I_C}$ entspricht der Steigung der
Ausgangskennlinie im ersten Quadranten.

\end{itemize}

\subsubsection{Berechnen der Schaltungskenngrößen}

Die dynamischen Schaltungskenngrößen Spannunngsverstärkung $v$,
Eingangsimpedanz $Z_e$ und Ausgangsimpedanz $Z_a$ ergeben sich direkt aus den
Transistorkenngrößen und können durch Betrachtung von Ersatzschaltbildern wie
in der Vorbereitungshilfe beschrieben ermittelt werden:

\begin{eqnarray}
v   &=& \frac{U_a}{U_e} = -\beta \frac{Z_a}{Z_e} \\
Z_e &=& R_B + r_B \\
Z_a &=& r_C + R_C
\end{eqnarray}

Die Werte sollen für zwei verschiede Basisvorwiderstände
${R_B}_1 = 0 \unit{\Omega}$ und ${R_B}_2 = 680 \unit{\Omega}$ ermittelt werden.
$r_C$ und $\beta$ sind nahezu konstant; aus demselben Grund aus dem wir auch
nur eine Kennlinie dieser Größen aufgenommen haben: Sie sind vom
Betriebszustand des Transistors unabhängig. $r_B$ hängt allerdings stark
vom Basisstrom ab. Daraus folgt direkt, dass die Änderung von $r_B + r_b$
der Änderung der Spannungsverstärkung $v$ entspricht.

\subsubsection{Messen der Schaltungskenngrößen}

In der Emitterschaltung werden $U_e$ und $U_a$ an ein Oszilloskop
angeschlossen. Im X/Y-Betrieb kann die Spannungsverstärkung
$v = \frac{U_a}{U_e}$ dann direkt als Steigung abgelesen werden.

Um die Eingangsimpedanz zu bestimmen, messen wir die Spannung über einem
regelbaren Widerstand $R$ vor dem Verstärkereingang und stellen diesen
anschließend so ein, dass genau die Hälfte der Ausgangsspannung daran abfällt.
Dann muss die andere Hälfte am Eingang des Verstärkers abfallen und es
gilt $Z_e = R$.

Die Ausgangsimpedanz kann man nach dem gleichen Verfahren bestimmen wobei der
Widerstand aber an den Ausgang des Verstärkers angeschlossen ist.

\subsubsection{Dachabfall am Koppelkondensator}

Die Spannung am Kondensator beträgt

\begin{equation}
U(t) = U_0 e^{-\frac{t}{RC}}
\end{equation}
und darf nach einer halben Periode des Rechtecksignals nicht unter
$2 \unit{\%}$ gesunken sein. Daraus ergibt sich die Bedingung

\begin{equation}
0,98 U_0 = U_0 e^{-\frac{1}{2f RC}}
\end{equation}
und daraus

\begin{equation}
C = -\frac{1}{\log \left(0,98\right) 2 f R}
\end{equation}
wobei $f = 1000 \unit{Hz}$ gegeben ist. $R$ entspricht der Eingangsimpedanz
und mit $R_B = 0$ (wie vorgegeben) gilt $R$ = $R_B = 680 \unit{\Omega}$. 

\subsection{RC-Oszillator mit Transistorverstärkung in Emitterschaltung}

Die Schaltung wird wie in Bild 12 der Vorbereitungshilfe aufgebaut. Am
Oszilloskop lässt sich die Frequenz dann aus der Periodenlänge $T$ bestimmen.
Wie in der Vorbereitungshilfe beschrieben erwarten wir einen Wert von etwa
$f \approx 950 \unit{Hz}$.

\end{document}
