\documentclass[a4,paper]{article}

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\title{Vorbereitung zum Versuch \glqq Galvanometer\grqq}
\author{Armin Burgmeier (1347488) \and Gruppe 15}
\date{13. Januar 2008}

\begin{document}
\maketitle

\setcounter{section}{-1}
\section{Funktionsweise des Galvanometers}

Das Galvanometer ist ein hochempfindliches Strommessinstrument. Es basiert auf
der Lorentzkraft, die bewegte Ladungen im Magnetfeld erfahren. Eine
stromdurchflossene Leiterschleife erfährt dadurch ein Drehmoment. Da sie
mechanisch an eine Feder angeschlossen ist wirkt aber auch ein rücktreibendes
Drehmoment. Nach einem Einschwingvorgang ist die Auslenkung der Leiterschleife
proportional zum durchflossenen Strom.

Beim Spiegelgalvanometer, wie im Versuch verwendet, wird für die Anzeige
kein Zeiger, sondern ein Spiegel benutzt, der von außen mit einem Lichtstrahl
bestrahlt und auf eine Skala reflektiert wird. Der \glqq Zeiger\grqq\ kann
somit beliebig lang gemacht werden ohne an Masse zuzunehmen.

\subsection{Schwingungsgleichung}
\label{sectno:2}

Die Schwingungsdifferentialgleichung des Galvanometers ist

\begin{equation}
\ddot{\varphi} + 2 \beta \dot{\varphi} + \omega_0^2 \varphi = \frac{G}{\Theta} I
\end{equation}
Der Ansatz $\varphi = A\cdot e^{-\lambda t}$ führt auf

\begin{equation}
\lambda^2 + 2 \beta \lambda + \omega_0^2 = 0
\end{equation}
Nach $\lambda$ aufgelöst:

\begin{equation}
\lambda_{1,2} = -\beta \pm \sqrt{\beta^2-\omega_0^2}
\end{equation}

Man unterscheidet drei Fälle:

\begin{itemize}
\item Schwingfall: $\omega_0^2 > \beta^2$

$\lambda$ ist komplex und es ergibt sich die Gleichung einer gedämpften
Schwingung, die exponentiell abklingt.

\item Kriechfall: $\omega_0^2 < \beta^2$

$\lambda$ ist reell. Die Lösung ist eine hyperbolische Kurve, die gegen den
Nullpunkt strebt.

\item Grenzfall: $\omega_0^2 = \beta^2$

Mit $\lambda = 0$ ergibt sich ein nichtschwingender exponentieller Abfall.

\end{itemize}

\section{Vorversuche}

Einige Vorversuche sollen die Empfindlichkeit des Galvanometers verdeutlichen.

\subsection{Potentialdifferenz des Körpers}

Man nimmt zwei Banenenstecker jeweils in eine Hand und schließt sie am
Galvanometer an. Durch statische Aufladungen ergibt sich eine geringe
Potentialdifferenz, und es fließt ein kleiner Strom. Das Galvanometer ist
in der Lage diesen zu erkennen.

\subsection{Drehwiderstand ohne Spannungsquelle}

Ein Drehwiderstand von etwa $100 \unit{\Omega}$ wird ohne Spannungsquelle an
das Potentiometer angeschlossen. Bewegt man nun den Widerstand, so entsteht
durch die Bewegung Wärme, die Elekronen auslöst, und somit einen Strom
verursacht. Das Galvanometer kann auch diesen Strom wahrnehmen.

\subsection{Ruhestellung}

Wir vergleichen die Ruhestellung (Galvanometer nicht angeschlossen) mit der
bei angeschlossenem (unbewegtem) Drehwiderstand.

\section{Stromempfindlichkeit und Innenwiderstand}

Schaltung 1 (aus der Aufgabenstellung) liefert eine einstellbare
Versorgungsspannung, an die die anderen Schaltungen angeschlossen werden
können. In diesem Aufgabenteil betrachten wir nur den eingeschwungenen Fall,
d.h. wenn der Lichtpunkt auf der Skala zur Ruhe gekommen ist. Dann gilt

\begin{equation}
\label{eqno:2}
\alpha = C_I I
\end{equation}
wobei $\alpha$ der Ausschlag des Galvanometers, $C_I$ seine statische
Stromempfindlichkeit und $I$ der Strom ist, der durch das Galvanometer fließt. 

\subsection{Messung über mehrere Widerstände}

Um die statische Stromempfindlichkeit $C_I$ und den Innenwiderstand $R_G$ des
Galvanometers zu messen wird Schaltung 2 verwendet. Dabei wird der Ausschlag
$\alpha$ des Galvanometers bei verschiedenen Stromstärken (entsprechend der
Widerstände in der Schaltung) gemessen.

Das Galvanometer wird jeweils an die Widerstände $R_5$ bis $R_{10}$, im
folgenden mit $R$ bezeichnet, und die Leitung ohne Widerstand ($R = 0$)
angeschlossen. Dann fällt über diesem Widerstand und dem Galvanometer eine
Spannung ab:

\begin{equation}
U_{GR} = (R + R_G) I_G
\end{equation}
Hierbei ist $R_G$ der Innenwiderstand des Galvanometers und $I_G$ der Strom
der durch das Galvanometer fließt. Nach den Kirchhoffschen Regeln muss am
Widerstand $R_4$ die gleiche Spannung abfallen:

\begin{equation}
\label{eqno:1}
U_{GR} = U_4 = R_4 I_4
\end{equation}
mit dem Strom $I_4$ durch den Widerstand $R_4$. Für den Strom $I$ durch den
Widerstand $R_3$ muss gelten:

\begin{equation}
I = I_4 + I_G = \frac{U}{R_3}
\end{equation}
Damit kann man $I_4$ aus (\ref{eqno:1}) eliminieren. $I_G$ kann man durch
Gleichung (\ref{eqno:2}) ausdrücken. Es folgt:

\begin{equation}
\label{eqno:3}
(R + R_G)\frac{\alpha}{C_I} = R_4 \left(\frac{U}{R_3} - \frac{\alpha}{C_I}\right)
\end{equation}

$\alpha$ lesen wir am Galvanometer ab. Die verbleibenden unbekannten Größen
sind $R_G$ und $C_I$. Um sie zu ermitteln machen wir mehrere Messungen für
verschiedene Widerstände $R$ und schreiben Gleichung (\ref{eqno:3}) um:

\begin{equation}
\frac{1}{\alpha} = \frac{R_3}{C_I R_4 U} R + \frac{R_3 \left(R_G + R_4\right)}
{C_I R_4 U}
\end{equation}

Tragen wir $\frac{1}{\alpha}$ "uber $R$ auf, so l"asst sich die Steigung der
entstehenden Geraden und deren y-Achsenabschnitt leicht ablesen und wir
k"onnen daraus die noch unbekannten Gr"o"sen ausrechnen.

\subsection{Messung über Brückendiagonale}

\subsubsection{Offene Brücke}

Wir schließen Schaltung 3 zunächst mit offener Brücke (d.h. keine Verbindung)
an die Spannungsversorgung an. Wir wollen wieder $\frac{1}{\alpha}$ für
verschiedene Widerstände $R_{14}$ gegeneinander auftragen. Auch in dieser
Schaltung ergibt sich daraus wieder eine Gerade, wie man wie folgt einsieht:

Für den gemessenen Strom $I_G$ durch das Galvanometer gilt:

\begin{equation}
I_G = \frac{U_{G14}}{R_G + R_{14}} =
\frac{\left(I - I_G\right)\left(R_{12} + R_{13}\right)}{R_G + R_{14}}
\end{equation}
Hierbei ist $U_{G14}$ die am Potentiometer und an $R_{14}$ abfallende Spannung
und $I$ der Gesamtstrom. Setzt man $I = \frac{U}{R_{11}}$, da $R_{11}$ im
Vergleich zum Widerstand der verbleibenden Schaltung sehr groß ist und
stellt nach $I_G$ um, so findet man:

\begin{equation}
I_G = \frac{U \left(R_{12} + R13\right)}
{R_{11} \left (R_{12} + R_{13} + R_{14} + R_G\right)}
\end{equation}
Durch Einsetzen von \ref{eqno:2} kann man nun nach $\frac{1}{\alpha}$
umstellen und die Gleichung so umformen, dass man sie als Geradengleichung in
$R_{14}$ erkennt:

\begin{equation}
\frac{1}{\alpha} = \frac{R_{11}}{U C_I \left(R_{12} + R_{13}\right)} R_{14} +
\frac{R_{11} \left(R_G + R_{12} + R_{13}\right)}
{U C_I \left(R_{12} + R_{13}\right)}
\end{equation}

\subsubsection{Geschlossene Brücke}
\label{sect:no1}

Diesmal wird die Brücke geschlossen und erneut die Ausschläge für
verschiedene $R_{14}$ gemessen. Für den Strom $I_G$ durch das Galvanometer
gilt:

\begin{equation}
I_G = \frac{U_G}{R_G} = \frac{U_{12}}{R_G} = \frac{I_{12} R_{12}}{R_G} = \frac{\left(I - I_G\right) R_{12}}{R_G}
\end{equation}
mit der am Galvanometer bzw. Widerstand $R_{12}$ abfallenden Spannung
$U_G$ bzw. $U_{12}$, dem Strom $I_{12}$ durch den Widerstand $R_{12}$ und
dem Gesamtstrom $I$. Letzterer wird wieder als $\frac{U}{R_{11}}$ angenommen.
Damit ergibt sich:

\begin{equation}
\frac{1}{\alpha} = \frac{R_{11} \left(R_G + R_{12}\right)}{C_I U R_{12}}
\end{equation}

Wie man sieht hängt $\alpha$ nicht von $R_{14}$ ab. Wir erwarten daher eine
zur x-Achse parallele Gerade wenn wir $\frac{1}{\alpha}$ über $R_{14}$
auftragen.

Setzt man die Geradengleichungen einander gleich (sprich, berechnet man den
Schnittpunkt) und beachtet, dass $R_{12} = R_{13}$ gilt, so ergibt sich:

\begin{equation}
\frac{R_{11} \left(R_G + R_{12}\right)}{C_I U R_{12}} =
\frac{R_{11}}{2 U C_I R_{12} } R_{14} +
\frac{R_{11} \left(R_G + 2 R_{12}\right)}{2 U C_I R_{12}}
\end{equation}
Löst man nach der X-Variablen $R_{14}$ auf, so findet man verblüffenderweise

\begin{equation}
R_{14} = R_G
\end{equation}

\subsubsection{Ausschlag in Abhängigkeit von der Spannung}

In Schaltung 4 soll bei $R_a = \infty$ der Ausschlag des Galvanometers in
Abh"angigkeit von der Spannung gemessen werden. Der Strom durch das Galvanometer
ergibt sich dann nach dem ohmschen Gesetz zu

\begin{equation}
I = \frac{U}{R_{15} + R_G}
\end{equation}
Somit können wir $\alpha$ über $I$ auftragen. Die statische
Stromempfindlichkeit ergibt sich nach (\ref{eqno:2}) direkt aus der Steigung
einer Regressionsgeraden.

\section{Schwingungsverhalten}

Bisher haben wir nur den eingeschwungenen Fall betrachtet. In diesem
Aufgabenteil wollen wir nun den Schwingvorgang an sich untersuchen. Dazu wird
wieder Schaltung 4 verwendet. Wir schalten den Strom dazu nach dem
Einschwingvorgang aus und untersuchen die Rückschwingung um den Nullpunkt.

Wir messen dabei die Schwingungsdauer $T$ und die Auslenkungen bei jeder
Periode $\alpha_n$. Aus letzteren können wir direkt das Dämpfungsverhältnis
$\frac{\alpha_{n-1}}{\alpha_n}$ angeben. Wir messen über so viele
Schwingungen wie möglich, das heißt bis die Ausschläge insignifikant klein
werden.

Aus diesen beiden gemessenen Größen bestimmen wir weiter:

\begin{itemize}
\item Die Abklingkonstante $\beta_{R_a}$.

Sie ergibt sich zu $\beta_{R_a} = \frac{1}{T} \log\left(\frac{a_{n-1}}
{a_n}\right)$. Das logarithmische Verhalten liegt im exponentiellen Abklingen
der Schwingung begründet.

Zudem tragen wir $\frac{1}{\beta_{R_a} - \beta_\infty}$ über $R_a$ auf und
legen eine Ausgleichsgerade durch die Punkte.

\item Die Frequenz des ungedämpften Galvanometers $\omega_0$.

\begin{equation}
\omega_0 = \sqrt{\left(\frac{2 \pi}{T_\infty}\right)^2 + \beta_\infty^2}
\end{equation}

\item Der Außenwiderstand $R_{a,gr}$.

Er ergibt sich durch Ablesen des Widerstandswerts in oben genannter Gerade
bei $\frac{1}{\omega_0 - \beta_\infty}$. Dies ist der Widerstand bei dem der
Schwingfall in den Kriechfall übergeht, was im Versuch nachgeprüft werden soll.

\item Die Galvanometerkenngrößen $D$, $\Theta$ und $D$.

Mit den drei in der Aufgabenstellung gegebenen Gleichungen ergibt sich

\begin{equation}
\begin{array}{ccc}
G = \frac{2}{m C_{I^\prime} \omega_0^2} &
\Theta = \frac{2}{m C_{I^\prime}^2 \omega_0^4} &
D = \frac{2}{m C_{I^\prime}^2 \omega_0^2} \\
\end{array}
\end{equation}

Dabei ist $C_{I^\prime}$, anders als $C_I$ in den vorherigen Aufgaben, der
Drehwinkel im Bogenmaß geteilt durch den Strom und nicht mehr die
auf der Skala zurückgelegte Strecke geteilt durch den Strom. $m$ ist die
Steigung der Geraden (siehe Abklingkonstante $\beta_{R_a}$).

\end{itemize}

\section{Kurze Stromstöße}

Im Gegensatz zu den vorherigen Aufgaben wollen wir nun untersuchen, wie sich
das Galvanometer bei nur kurzen Stromstößen verhält, wenn es also nicht
genügend Zeit hat um die Gleichgewichtslage beim Einschwingen zu erreichen.
Die kurzen Stromstöße werden durch Entladung eines Kondensators erreicht
(Schaltung 5). Als Stromstoßdauer nehmen wir $T_Q = 3 R C$ an, da hier der
Großteil ($95 \unit{\%}$) der Ladung vom Kondensator abgeflossen ist.

\subsection{Experimentelle Bestimmung der Stromstoßempfindlichkeit}

Die Stoßstromepfindlichkeit $C_b = \frac{\alpha}{Q} = \frac{\alpha}{C U}$
ist wie die Stromempfindlichkeit der Quotient aus (Maximal-)Ausschlag und
Strom. Da der Strom hier jedoch nur über eine sehr kurze Zeitdauer $T_Q$ wirkt
kann man auch die Ladung betrachten, die insgesamt durch das Galvanometer
fließt. Berücksichtigt man noch, dass ein Teil der Ladung durch den Widerstand
$R_a$ statt durch das Galvanometer fließt, so findet man

\begin{equation}
C_b = \frac{R_a + R_G}{R_a} \frac{\alpha}{C U}
\end{equation}

Die Kapazität des Kondensators ist bekannt und die an ihn angelegte Spannung
wird direkt mit Schaltung 1 eingestellt. Wir messen für verschiedene
Widerstände $R_a$.

% TODO: Gilt C_b = alpha/Q nicht nur für den eingeschwungenen Fall?

\subsection{Theoretische Bestimmung der Stromempfindlichkeit}

Hier ist zunächst eine Unterscheidung des Schwingfalls erforderlich, d.h.
das Vorzeichen der Größe $\beta^2 - \omega_0^2$ (siehe \ref{sectno:2}).

Nach der Vorbereitungshilfe (Abschnitt 5) gilt jeweils in Näherung ($\alpha$
bezeichnet den Maximalausschlag des Galvanometers):

\begin{itemize}
\item Kriechfall:

$\alpha = \frac{R_G + R_a}{G} Q$. Durch Gleichsetzen mit $\alpha = Q C_b$ folgt

\begin{equation}
C_b = \frac{R_G + R_a}{G}
\end{equation}

\item Grenzfall:

$\alpha = \frac{G Q}{\Theta \omega_0 e}$, woraus

\begin{equation}
C_b = \frac{G}{\Theta \omega_0 e}
\end{equation}
folgt.

\item Schwingfall:

Es gilt $\alpha = \frac{G Q}{\Theta \omega_0}$, was zu

\begin{equation}
C_b = \frac{G}{\Theta \omega_0}
\end{equation}
führt.

\end{itemize}

% TODO: Gilt C_b = alpha/Q nicht nur für den eingeschwungenen Fall?

\subsection{Unabhängigkeit von $T_Q$ und $T$}

Wir sind bisher davon ausgegangen, dass die Stromstoßempfindlichkeiten $C_b$
unabhängig von der Entladezeit $T_Q$ des Kondensators ist. Dies gilt jedoch
nur, wenn $T_Q$ klein im Gegensatz zur Schwingungsdauer $T$ ist. Um dies zu
verifizieren machen wir mehrere Messungen mit großem $T_Q$. Wegen
$T_Q = 3 R C$ wählen wir dazu $R$ genügend groß.

\section{Fragen}

\begin{itemize}
\item Warum kann man $R_G$ nicht mit einem der üblichen Ohmmeter messen?

Ein Ohmmeter legt eine konstante Spannung an und misst dann den Strom, der
durch das zu testende Bauteil fließt, oder umgekehrt. Ein herkömmliches
Ohmmeter würde jedoch eine viel zu große Stromstärke erzeugen, die das
empfindliche Galvanometer beschädigen würde.

\item Wozu könnte wohl der in Schaltung 4 zum Galvanometer parallelgaschaltete
$330 \unit{\Omega}$-Widerstand dienen?

Er dient zur Abschwächung von Induktionsströmen. Wenn sich die Spule im
Magnetfeld dreht, wird wegen der Flächenänderung ein Strom induziert, der
sonst zu einem Wackeln des Zeigers führen würde.

\item Wie ergibt sich die statische Spannungsempfindlichkeit des Galvanometers?

Zu

\begin{equation}
C_U = \frac{C_I}{R_G}
\end{equation}

\item Wieso ergibt sich bei Aufgabe 2.2 $R_G$ als Schnittpunkt-R?

Siehe Herleitung in \ref{sect:no1}.

\item Welchen Sinn haben ballistische Messungen?

Bei ballistischen Messungen wird in einer kurzen Zeit Impuls und Energie
von einem Objekt auf ein anderes übertragen. Durch die Messung der
Geschwindigkeit oder Energie dessen lässt sich somit auf die des ersten
Objekts zurückschließen. Typisches Beispiel ist eine Gewehrkugel, die auf
einen Sandsack trifft und durch dessen Maximalausschlag die Energie und
der Impuls der Gewehrkugel berechnet werden kann.

In diesem Versuch ist der kurze Stromstoß des Kondensators die Gewehrkugel,
und durch die Auslenkung des Galvanometers kann man die Gesamtladung $Q$
berechnen.

\end{itemize}

\end{document}
